Városi oktatási intézmény "Budagovskaya középiskola" Téma: Teljesítette: Shalygin Ivan 5. osztályos tanuló Vezető: Kalash G.V. Matektanár, Budagovo 2012 1. EPIGRÁFIA: Te és én háromdimenziós térben élünk, sétálunk, játszunk és iskolába járunk, így nem ártana először mindent megtudni az űrről. Körülöttünk minden ismerős és kedves számunkra. A szobalány megnyitotta előttünk az utat a tudomány felé. A szalagot hibával varrták, de értelmet nyert az utókor számára. Így Mobius talált egy munkalapot a természettudományokhoz, és megszerezte a saját matematika részét. A testek felületeit vizsgáló ágat azóta mindenki topológiának nevezi. Hogyan lehet, hogy egy légy a szalagon nem tér le az útjáról? Sajnos végtelen út előtt áll. 2 Tartalom I. Möbius szalag 1. Tartalom……………………………………………………………………………………………………………… ..3 2. Bevezetés………………………………………………………………………………………………………………… .4 3. Történelmi háttér… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..5 4. Topológia – „Pozíciógeometria”… .....…… ……………………………………………………….5 II. Kutatási kísérletek papírral: 1. Möbius csík felületének festése…………………………………7 2. Möbius csík vágása: ……………………………………… ……………………………… ………….8 a) a lap mentén két egyenlő részre………………………………………..……….9 b) a szalagcsavarás művelete során……………………………………………10 c) több szalag derékszögben ragasztva………………………………………………………………………………………. 3-ba; 4; 5; részek…………………….12 3. A kísérletek eredményei alapján töltse ki a táblázatokat….………………..12 4. vonjon le következtetéseket a vizsgálatok eredményei alapján…… ...................... …………………… ……..13 6. Kísérletek kötéllel és mellénnyel. ……………………………………………14 III. A Möbius csík gyakorlati alkalmazása ……………………………………………… .15 IV következtetés …………………………………………… ………………………………………………………………….16 V. Irodalomjegyzék……………………………………………………… …..17 VI. Függelék……………………………………………………………………………………………………………….18 Matematikai klub gyakorlati órája a Möbius-szalag tanulmányozása az 5. osztályban (Ivan Shalygin fényképek és videofelvételek)………………………………………………………………………………… …………………………………………………… 17 3 Bevezetés A projekt általános jellemzői: 1. A „Geometria a térben” projekt hosszú távú (a második és harmadik negyedévre tervezték ) 2. A projekt oktatási, kutatási jellegű. (Kutatás és kísérlet, rendszerezés és gyakorlati alkalmazás). 3. Csoportos projekt (Munka klubtalálkozókon 5. osztályos tanulókkal) 4. Bővített projekt. (Az iskolán belül, a projekt egy részének megvédésével absztrakt formájában és előadás formájában a „Matematika tankönyv lapjai mögött” regionális konferencián) 5. A projekt „A Möbius-szalag titkai” témával foglalkozó szekciójának eredményei alapján absztrakt készült és a IV. csoport vezetője, Ivan Shalygin felszólalt. A munka célja: 1. Megismerni a matematika egy új ágát - a „Topológiát”, annak alapfogalmaival és feladataival, gyakorlati célú kutatásokat végezni, saját maga számára felfedezni. 2. Alkoss első elképzelést a Möbius Stripről. Ismerkedjen meg az Önt körülvevő világ matematikai megközelítésének alapvető technikáival. 3. Tanuljon meg kutatást végezni, leírja az eredményeket, töltse ki a táblázatokat és hajtsa végre a kísérlet során kapott rajzokat és modellek rajzait. 4. Tanulj meg megalapozott következtetéseket levonni, ötleteket generálni a helyzetek megoldásához, és az ismereteket új feladatok és problémák megoldására alkalmazni. 5. Végezzen gyakorlati kísérleteket. 6. Megállapítani a figyelembe vett anyag élettel való kapcsolatát. 4 Történelmi háttér August Ferdinand Möbius (1790-1868) Kint esett az eső. Elszívtam egy pipát és ittam egy csésze kedvenc kávémat tejjel. Az ablakból a kilátás lehangoló volt. Egy férfi ült egy széken. Mások voltak a gondolatok, de valahogy semmi különös nem jutott eszembe. Csak az volt a levegőben az érzés, hogy ez a bizonyos nap dicsőséget hoz és megörökíti August Ferdinand Mobius nevét. Szeretett felesége megjelent a szoba küszöbén. Igaz, nem volt jó kedve. Pontosabban: dühös volt, amiért Mobius békés háza számára ez majdnem olyan hihetetlen, mintha évente háromszor látna bolygók felvonulását, és kategorikusan követelte a szobalány azonnali elbocsátását, aki annyira középszerű, hogy még arra sem képes. varrjon helyesen egy szalagot. A professzor komoran nézte a balszerencsés szalagot: – Ó, igen, Márta, nem is olyan hülye ez a szalag. A nyitott felület matematikai indoklást és nevet kapott az azt leíró matematikus és csillagász tiszteletére. Topológia – „Pozíciógeometria” Attól a pillanattól kezdve, hogy August Ferdinand Möbius német matematikus felfedezte egy csodálatos egyoldalas papírlap létezését. A matematikának egészen új ága kezdett kialakulni, a topológia elsõsorban a testek felületeit vizsgálja, és olyan objektumok között talál matematikai kapcsolatot, amelyek egymással látszólag semmiképpen sem kapcsolódnak például a A makaróni dió és a bögre rokonságban állnak egymással, bár minden más tekintetben különböznek egymástól. a göttingeni egyetem professzora, aki lipcsei kollégájával szinte egy időben javasolta az egyoldalú felület első példáját a már megszokott, egykor csavart szalagot. Ez a tudomány fiatal, ezért huncut. A benne elfogadott játékszabályokról nem lehet mást mondani. A topológusnak joga van bármilyen figurát hajlítani, csavarni, összenyomni és nyújtani – azt csinál vele, amit akar, csak ne tépje össze, ne ragassza össze. És ugyanakkor azt fogja hinni, hogy semmi sem történt, minden tulajdonsága változatlan maradt. Sem a távolságok, sem a szögek, sem a területek nem számítanak neki. Mi érdekli? Az ábrák legáltalánosabb tulajdonságai, amelyek semmilyen átalakítás során nem változnak, hacsak nem történik katasztrófa - az ábra „robbanása”, ezért a topológiát néha „folytonosság geometriájának” nevezik. „Gumigeometria” néven is ismert, mert a topológusnak semmibe sem kerül, ha minden figuráját egy gyermek felfújható labda felületére helyezi, és vég nélkül változtatja a formáját, ügyelve arra, hogy a labda ne törjön ki hogy ugyanakkor az egyenesek, például a háromszög oldalai görbékké válnak, a topológus számára mélyen közömbös, hogy a topológia milyen szokatlan tulajdonságait vizsgálja eddig csak egy tulajdonságról? egyoldalúság, akkor a kétoldalas felületekkel (például egy gömb és egy henger) szemben az eredetihez képest fordított helyre kerül, ha egy kört mozgat ezen a szalagon, miközben egyidejűleg körbemegy az óramutató járásával megegyező irányban, akkor a kezdeti helyzetben a bejárás iránya az óramutató járásával ellentétes lesz. Ha összehasonlítja a repülőútvonalak diagramját és a földrajzi térképet, akkor 6 meg fog győződni arról, hogy az Aeroflot léptéke korántsem egységes - például Szverdlovszk félúton lehet Moszkvától Vlagyivosztokig. És mégis van valami közös a földrajzi térkép között. Moszkva valóban kötődik Szverdlovszkhoz, Szverdlovszk pedig Vlagyivosztokhoz. Ezért a topológus tetszőleges módon deformálhatja a térképet, amíg a korábban szomszédos pontok egymás mellett és távolabb is maradnak. Ez azt jelenti, hogy topológiai szempontból egy kör nem különböztethető meg egy négyzettől vagy egy háromszögtől, mert könnyen átalakíthatók egyik a másikká a folytonosság megszakítása nélkül. A Möbius-szalagon bármely pont összekapcsolható bármely más ponttal, ugyanakkor az Escher metszetén lévő hangyának soha nem kell átmásznia a „szalag” szélén . A Möbius szalag elkészítéséhez vegyen egy meglehetősen hosszúkás papírcsíkot, és kösse össze a szalag végeit, először fordítsa meg az egyiket. Ha egy Möbius-szalag felszínén lennél, örökké járhatnál rajta. Most több kísérletet is megvizsgálunk papírcsíkokból készült felületekkel és lyukakkal. A legkényelmesebb körülbelül 30–40 cm hosszú és 3 cm széles csíkokat használni. Először is ragasszunk két gyűrűt - egy egyszerűt és egy csavart. 7 A gyűrűk természetesen nagyon hasonlóak; de mi történik, ha folytonos vonalat húzunk a gyűrű egyik oldalán? Amikor Möbius ezt megtette a csavart gyűrűn, azt tapasztalta, hogy a vonal mindkét oldalon lefutott, bár a ceruzája nem hagyta el a papírt. Ez azt jelenti, hogy a gyűrűnknek csak az egyik oldala van? Most próbálja ki a gyűrűit. 1. Mindegyiknek csak az egyik oldalát fesse le teljesen. Hány felületük van? Próbálja meg lefesteni a Mobius szalag egyik oldalát darabonként, anélkül, hogy átlépné a csík szélét. És akkor? A teljes Mobius csíkot lefested! Mi olyan érdekes ebben a lapban? És az, hogy a Möbius-szalagnak csak egy oldala van. Megszoktuk, hogy minden felületnek, amivel foglalkozunk (egy papírlap, biciklicső vagy röplabdacső) két oldala van. 8 2. Helyezzen egy pontot minden gyűrű egyik oldalára, és húzzon végig egy folyamatos vonalat, amíg ismét el nem éri a megjelölt pontot. Hány éle van egy Möbius szalagnak? Második számú meglepetés: a Möbius-sávnak csak egy határa van, és nem két részből áll, mint egy szabályos gyűrű. Teszteljük a gyűrűket úgy, hogy hosszában két részre vágjuk őket. Most két külön gyűrűje lesz. De mi az? Két gyűrű helyett egyet kapsz! Ráadásul nagyobb és vékonyabb, mint az eredeti gyűrű. A további csavarás és vágás eredményét rögzítse táblázatban. Több fordulat. 9 Mi történik, ha teljes kört tesz meg? Hány éle van a kapott gyűrűnek? Hány felület? Mi történik, ha hosszában kettévágod? Kutakodjunk úgy, hogy fél fordulattal elforgatjuk. Teljes kör, másfél fordulat. Írjuk le a tulajdonságokat, és készítsünk vázlatokat az eredményekről. A Möbius-sáv érdekes tulajdonságokkal rendelkezik. Ha megpróbálja kettévágni a szalagot a szélektől egyenlő távolságra lévő vonal mentén, akkor két Möbius-csík helyett egy hosszú, kétoldalas (kétszer olyan csavart, mint egy Möbius-szalag) szalagot kap, amelyet a bűvészek „afgán csíknak” neveznek. Ha ezt a szalagot most középen vágja le, két tekercset kap egymásra. További érdekes szalagkombinációk származtathatók a két vagy több félfordulatot tartalmazó Möbius szalagokból. Például, ha három félfordulattal elvág egy szalagot, akkor egy szalagcsomóvá göndörödött szalagot kap. Egy Möbius-szalag további fordulatokkal történő levágása váratlan figurákat eredményez, úgynevezett paradromikus gyűrűket. A csavarás, vágás eredményeit rögzítsük a kutatási táblázatban. Kutatási táblázat 1. sz. Egy szalaggal Sz. Félfordulatok száma 1 0 Egy félbevágás eredménye hosszában Két gyűrű Tulajdonságok 2 1 Egy gyűrű Kétszer hosszabb gyűrű 3 2 Két gyűrű Egymásba reteszelt azonos hosszúságú gyűrűk 4 3 Egy gyűrű Egy gyűrű kétszer olyan hosszú, összekötött csomó kétszer keskenyebb, mint az azonos hosszúságú gyűrűk 10 Vázlat Következtetések: Mi történik, ha kétszer megcsavarja a szalag ragasztása előtt (azaz 4 fél fordulat 360 fokban)? Egy ilyen felület már kétoldalas lesz. És a teljes gyűrű festéséhez feltétlenül át kell fordítania a szalagot a másik oldalára. Ennek a felületnek a tulajdonságai nem kevésbé lenyűgözőek. Végül is, ha középen hosszában vágja, két egyforma gyűrűt kap, de ismét egymásba zárva. Mindegyiket újra vágva a közepén, négy egymáshoz kapcsolódó gyűrűt talál. Most már egyesével széttépheti a gyűrűket - és minden alkalommal, amikor a megmaradt gyűrűket továbbra is összekapcsolja. Ha nem papírszalagot veszel, hanem bármilyen anyagból készült csíkot, akkor a csík egyik végét fordítsd három teljes fordulattal, pl. 540 fok, mindkét végét varrjuk. Ezután vegyen ollót, és óvatosan vágja le a csíkot a közepén, majd vágja újra, három egyforma gyűrűt kapunk egymásba. Több szalag Meg fogunk lepődni, mi történik, ha dupla gyűrűt vágunk. Készítsen elő két gyűrűt: egy normál és egy Möbius. Ragassza fel őket derékszögben, majd vágja el mindkettőt hosszában. Kutatási táblázat 2. sz. Gyűrűk száma 1 Két egymásra merőlegesen elhelyezkedő gyűrű. Az egyes csíkok mentén végzett vágás eredménye Három gyűrű Tulajdonságok Két azonos hosszúságú gyűrű, a harmadik kétszer olyan hosszú. Két rövidebb hosszúságú gyűrű páronként összefonódik egy harmadik gyűrűvel 11 Vázlat Kiegészítő kérdés Több vágás Ha a szalagot a szélétől a szélességének 1/3-ára vágja el, akkor két gyűrűt kap. De! Egy nagy és egy kicsi kapcsolódik hozzá. Kutatási táblázat 3. sz. Vágások száma 1 Három rész Vágás eredménye szalagonként Két gyűrű Tulajdonságok Egy azonos hosszúságú, a második kétszer hosszabb gyűrű egymásba van zárva 12 2. vázlat Négy rész Két gyűrű Mindkét gyűrű kétszeres mindaddig, amíg a vágott, egymásba fonódó barát. Az egyik gyűrű összefonta a másikat 3 Öt rész Három gyűrű Két kétszer hosszabb gyűrűt összefonnak egymással, és párba kapcsolnak egy harmadik, eredeti hosszúságú rövid gyűrűvel. Következtetések: Ha egy kis gyűrűt is vágunk, a közepén, akkor nagyon „bonyolult” összefonódik két gyűrű – méretben azonos, de eltérő szélességben. Trükkök a Mobius-szalaggal A fizikusok azt állítják, hogy minden optikai törvény a Mobius-szalag tulajdonságain alapul, különösen a tükröződésen. a tükör egyfajta átvitel az időben, rövid távú, századmásodpercekig tartó, elvégre magunk előtt látjuk... ez igaz, szokatlan tulajdonságai miatt a Mobius-szalag tükre Az elmúlt 75 évben széles körben használták a mágusok. Ha megpróbálja a csíkot a szélektől egyenlő távolságra levágni, akkor két Mobius csík helyett egy hosszú, kétoldalasat kap (kétszer olyan csavart, mint egy Möbius csík ) egy csík, amelyet a bűvészek „afgán csíknak” neveznek A csavart szalaggyűrűkkel végzett kutatásaink alapján egy sor trükköt hajthatunk végre. Íme, az egyik közülük: Három nagy papírgyűrűt ajándékozunk a nézőnek, amelyek mindegyike papírszalag végeinek ragasztásával készült. (1. vizsgálati táblázat). A néző ollóval vágja a gyűrűket a szalag mentén középen, amíg vissza nem tér a kiindulási pontra. Ennek eredményeként az első két különálló gyűrűvé válik. A másodikból egy gyűrű van, de kétszer olyan hosszú, a harmadikból pedig két gyűrű van egymásba zárva. 13 Ha áthúzunk egy háromszor csavart szalagot a gyűrűn, összeragasztjuk a végeit, majd középen hosszában elvágjuk, akkor egy nagy gyűrűt kapunk, a gyűrű köré csomót kötve. Hasonlóképpen varázstrükkökhöz használhatja a 2. és 3. kutatási táblázatot. Kísérletek kötéllel és mellényekkel. A Möbius-szalaggal ellátott trükkök a topológiai trükkök részét képezik, amelyekhez rugalmas anyagokra van szükség, amelyek nem változnak a folyamatos átalakulások során: nyújtás és tömörítés. A kísérletek elvégzéséhez sálra, mellényre és kötelekre van szüksége. Először egy problémahelyzetet állítunk fel. Kísérletek segítségével keressük a kiutat ebből a helyzetből. 1. kísérlet. A csomókötés problémája. Hogyan kössünk csomót egy sálba anélkül, hogy elengednénk a végeit? Ezt így is meg lehet csinálni. Helyezze a sálat az asztalra. Tedd keresztbe a karjaidat a mellkasodon. Tartsa őket ebben a helyzetben, hajoljon az asztal fölé, és mindkét kezével vegye meg a sál egyik végét. A karok széttárása után automatikusan csomó keletkezik a sál közepén. A topológiai terminológiát használva azt mondhatjuk, hogy a néző keze, teste és sála zárt görbét alkot „háromlevelű” csomó formájában A kezek széttárásakor a csomó csak a sálra kerül A mellény kifordítása anélkül, hogy levenné a személyről, a körülötted lévőknek kell a mellényt kifordítaniuk , a mellényt le kell húzni a gazdi hátára. A mellény a levegőben lóg, de természetesen nem fog lejönni, mert most a mellény bal felét kell fogni és próbáld meg ne gyűrni a mellényt, told a lehető legmélyebbre a jobb karfuratba, majd vedd be a jobb karfuratba, és ugyanabba az irányba A mellény kifelé fordítható. Ezért a mellény egy pulóverre cserélhető. A pulóverrel végzett manipulációkat pontosan megismételjük. Ezt a kísérletet magadon is demonstrálhatod, amihez össze kell kötned a kezeidet egy 14-es zsinórral, 40 centiméter távolságot hagyva közöttük a mozgás szabadsága érdekében, és elöl össze kell kulcsolni a kezeidet. 3. kísérlet. Kötélgyűrűk kibogozása. Két résztvevő kötéllel van megkötve. Így a kezek és a kötelek két egymásba illeszkedő gyűrűt alkotnak. A kötelek kioldása nélkül kell kibogozni. A válasz erre a kísérletre abban rejlik, hogy a résztvevőknek még két hurok van a kezükön. Az egyik kötelet át kell húzni a másik kötél kezén lévő hurkok egyikén, és el kell távolítani a hurkot a kezén keresztül. III. A Möbius szalag gyakorlati alkalmazása Legcsodálatosabb tulajdonsága, hogy egyoldalas, nem festhető két színnel, és a rajta mászkáló rovarok mindkét oldalát megkerülik anélkül, hogy átlépnék a szélét. Ez a tulajdonság gyakorlati alkalmazásra talált: számos eszközt szabadalmaztattak, például élezőszalagot, nyomdagépekhez való tintaszalagot, szíjhajtást és egyéb műszaki megoldásokat. A Möbius szalag egyoldalú tulajdonságát a technikában alkalmazták: ha egy szíjhajtás szíja Möbius szalag formájában készül, akkor felülete kétszer olyan lassan kopik el, mint a hagyományos gyűrűé. Ez jelentős megtakarítást biztosít A Möbius szalag tulajdonságai a ruhaiparban felhasználhatók az eredeti szövet vágására. A gyerekjátékok rugós mechanizmusa leggyakrabban meghibásodik, mert a gyerekek gyakran megpróbálják felcsavarni a rugót. a határig. A gyűrűs csavart rugó a gyermekjátékok „örökmozgógépévé” válhat. Egy másik példa egy új mechanizmus lehetséges használatára a fénykép- vagy filmkamera (nem digitális) nyílászárója. Hagyományos kivitelben a redőny kioldása után a redőnyfüggöny nyílást be kell zárni, majd csak az eredeti helyzetébe kell visszatenni, egyidejűleg a rugót feltölteni. Ellenkező esetben a keret kigyullad, amikor az ellenkező irányba halad át a redőny résen. A redőnyszerkezet nagyon összetettnek bizonyul. A Möbius szalag használata leegyszerűsítette a tervezést, növelte a megbízhatóságot, a tartósságot és a teljesítményt. Sok mátrixnyomtatóban a tintaszalag Mobius csík formájú is, hogy növelje erőforrásait. A Mobius-szalagnak köszönhetően számos különféle találmány született. A magnókhoz például speciális kazettás kazettákat készítettek, amelyekkel „mindkét oldalról” lehetett hallgatni a kazettákat, anélkül, hogy helyet váltottak volna. Ez a játék nemcsak a matematikusok körében volt nagyon népszerű. Valószínűleg nem hiába, hogy most a washingtoni Történeti és Technológiai Múzeum bejáratánál áll a Mobius-szalag emlékműve - egy fél fordulattal csavart acélszalag lassan forog egy talapzaton. Max Bill szobrász egy egész sor szobrot készített Mobius szalag formájában. Elég sok különböző rajzot hagyott hátra Maurits Escher. IV. Következtetés Annak ellenére, hogy Mobius már régen megtette csodálatos felfedezését, ma is nagyon népszerű. Egy egyszerű papírcsík, amelyet csak egyszer csavarnak, majd gyűrűvé ragasztanak, azonnal titokzatos Mobius csíkká változik, és csodálatos tulajdonságokat szerez. A felületek és terek ilyen tulajdonságait a matematika egy speciális ága - a topológia - tanulmányozza. Ez a tudomány annyira összetett, hogy nem tanítják az iskolában. Csak intézetekben. De ki tudja, talán idővel híres topológusokká válunk, és csodálatos felfedezéseket teszünk. És talán valami bonyolult felületet neveznek el rólunk. A csoportomban lévő srácokkal a „Mobius szalag titkai” projekten dolgozva sok új és érdekes dolgot tanultam: megtanultam irodalmat keresni a tanár által javasolt témában a könyvtárban, elolvasni és kiválasztani a szükséges anyagot. ; használjon cikkeket az interneten, válassza ki a szükséges illusztrációkat az absztrakthoz, készítsen táblázatokat és töltse ki azokat; végezzen kutatást a „Möbius szalagon” (végezze el a szükséges számú fordulatot, ragasszon és vágjon); fényképezze le a kapott gyűrűket, és írja be őket a táblázatba; bemutatót és filmkísérleteket készíteni; beszélni egy konferencián és varázstrükköket végrehajtani. Mindez meglehetősen bonyolult és időigényes, de nagyon érdekes. 16 „A topológia, a geometria legfiatalabb és legerősebb ága világosan demonstrálja az intuíció és a logika közötti ellentmondások gyümölcsöző hatását” R. Courant. 17 Irodalom 1. Gardner M „Matematikai csodák és rejtélyek”, Moszkva, „Tudomány” 1986 2. Gromov A.S. „Tanórán kívüli feladatok a matematika 8-9. osztályában” Moszkva, Oktatás 3. N. Langdon, Ch. Piton „Úton a matematikával” Moszkva, Pedagógia, 1987 4. Népszerű tudományos folyóirat „Kvant” 1975. 7. szám, 1977. sz. 7. 5. Savin A.P. „Egy fiatal matematikus enciklopédikus szótára”, M, Prosveshchenie, 1985 6. Yakusheva G.M. „Nagy enciklopédiák iskolásoknak. Matematika”, Moszkva, „WORD”, Eksmo, 2006 7. w.w.w.Rambler.ru 18 Függelék Laboratóriumi munka „Möbius Strip” matematikakör órán 19 Próbálja megfesteni a Möbius csík egyik oldalát - darabonként, anélkül, hogy átmenne a a szalag széle. És akkor? A teljes Mobius csíkot lefested! 20 Helyezzen egy pontot minden gyűrű egyik oldalára, és húzzon végig egy folytonos vonalat, amíg vissza nem tér a megjelölt ponthoz 21 Teszteljük a gyűrűket úgy, hogy hosszában kettévágja őket. 22 Most két külön gyűrűje lesz. De mi az? Két gyűrű helyett egyet kapsz! Ráadásul nagyobb és vékonyabb, mint az eredeti gyűrű. 23 A csavarás és vágás eredményeit írjuk fel a kutatási táblázatba! 24 Mindkét gyűrű kétszer olyan hosszú, mint a vágott, és egymásba illeszkedik. Az egyik gyűrű összefonta a másikat 25 Az egyik azonos hosszúságú, a második kétszer hosszabb gyűrű egymásba van zárva 26 A Möbius-szalag további fordulatokkal történő elvágása váratlan alakzatokat eredményez, amelyeket paradromikus gyűrűknek nevezünk. 27
Képzeljünk el egy felületet, és egy hangyát ül rajta. Képes lesz-e a hangya átkúszni a felszín túloldalára - képletesen szólva az alsó oldalára - anélkül, hogy átmászik a szélén? Természetesen nem!
Az első példát az egyoldalú felületre, amelyre a hangya be tud mászni anélkül, hogy átmászik a szélén, Mobius adta 1858-ban.
M. Escher "Mobius szalag II" "Átmenet" a Mobius szalagon keresztül egy másik dimenzióba
August Ferdinand Möbius (1790-1868) - a matematikusok „királyának”, Gaussnak a tanítványa. Möbius eredetileg csillagász volt, mint Gauss és sokan mások, akiknek a matematika a fejlődését köszönheti. Akkoriban a matematikát nem támogatták, és a csillagászat elegendő pénzt biztosított ahhoz, hogy ne gondoljon rájuk, és hagyott időt a saját gondolatokra. Möbius pedig a 19. század egyik legnagyobb geometriája lett.
68 évesen Möbius csodálatos szépségű felfedezést tett. Ez az egyoldalú felületek felfedezése, amelyek közül az egyik a Möbius-csík (vagy csík). Möbius akkor állt elő a szalag ötletével, amikor megfigyelt egy szobalányt, aki rosszul viselte a sálját a nyakában.
M. Escher "Möbius szalag"
Készítsünk egy Mobius csíkot: vegyünk egy papírcsíkot - egy hosszú, keskeny téglalapot ABCD (kényelmes méretek: hosszúság 30 cm, szélesség 3 cm). A szalag egyik végét 180º-ban megcsavarva ragasszunk rá egy gyűrűt (A és C, B és D pont) A modell készen áll.
Möbius szalagos modell könnyen elkészíthető egy papírcsíkból, ha a csík egyik végét fél fordulattal elfordítjuk, a másik végét pedig zárt formára kötjük. Ha elkezd egy vonalat húzni ceruzával a szalag felületére, a vonal mélyen bemegy az ábrába, és átmegy a vonal kezdőpontja alatt, mintha a szalag „másik oldalára” menne. Ha folytatja a sort, visszatér a kiindulási ponthoz. Ebben az esetben a húzott vonal hossza kétszerese lesz a papírcsík hosszának. Ez a példa azt mutatja, hogy a Möbius-szalagnak csak egy oldala és egy szegélye van.
Az euklideszi térben valójában kétféle félig elfordított Mobius-szalag létezik: az egyik - az óramutató járásával megegyező, a másik - az óramutató járásával ellentétes.
A Mobius szalag meglepetést okoz, ha megpróbálja levágni. Vágja le a lapot a középvonal mentén. Mit kaptál? Ahelyett, hogy két részre esne, a szalag hosszú, összefüggő, zárt csíkká bontakozik ki. Vágja újra az első vágás után kapott szalagot a középvonal mentén. Az olló utolsó szorítása előtt próbálja meg kitalálni, mi fog történni?
Ahhoz, hogy Möbius csíkot kapjunk, a papírcsíkot fél fordulattal 180°-kal elfordítottuk. Most csavarja el a szalagot 360°-ban, egy teljes fordulattal. Ragasszuk össze, majd vágjuk le a középvonal mentén. Nehéz megjósolni, hogy mi lesz az eredmény.
Most próbáljunk meg egy ilyen modellt készíteni: vágjunk egy rést az ABCD szalagon, és fűzzük át az egyik végét. Fordítsd el fél fordulattal és ragaszd össze a képen látható módon.
Most folytassa a vágást a teljes szalag mentén. Mit kaptál?
Az 1858-ban megjelent titokzatos és híres Mobius-szalag aggasztotta a művészeket és a szobrászokat. Sok Möbius-szalagot ábrázoló rajzot a híres holland művész, Maurice Escher hagyott hátra (lásd a cikket).
A Mobius-szalag változatainak egész sora megtalálható a szobrászatban.
Romantika egy kővel. Mobius Sling. S. Karpikov A Mobius-szalag emlékműve Moszkvában. A. Nalich
Paradoxon és tökéletesség. A. Etkalo Merit Rasmussen geometriai szobrai
Minszk. A Yakub Kolasról elnevezett Központi Tudományos Könyvtár melletti tér.
Építészeti megoldások a Moebius szalag ötlet felhasználásával:
Hihetetlen új könyvtári projekt Asztanában, Kazahsztánban
Asztal összeállítások:
Még bútorok is vannak Mobius szalag formájában
Ékszerek Mobius szalag formájában:
Van egy hipotézis, hogy maga az emberi DNS-spirál is egy Mobius-csík töredéke.
Az újrahasznosítás nemzetközi szimbóluma a Möbius csík.
A Möbius-szalag a science fictionben is visszatérő téma., például Arthur C. Clarke "The Wall of Darkness" című történetében. Néha tudományos-fantasztikus történetek (az elméleti fizikusok nyomán) azt sugallják, hogy Univerzumunk valamiféle általánosított Möbius-szalag lehet. Ezenkívül a Mobius-gyűrűt folyamatosan emlegetik Vladislav Krapivin uráli író műveiben, a „A nagy kristály mélyén” című ciklusban (például: „Előőrs a horgonymezőn. Mese”). A. J. Deitch "The Mobius Strip" című történetében a bostoni metró új vonalat épít, amelynek útvonala annyira zavarossá válik, hogy Mobius sávtá válik, ami miatt a vonatok eltűnnek a vonalon. A történet alapján forgatták a Gustavo Mosquera által rendezett „Mobius” sci-fi filmet. A Mobius-szalag ötletét M. Clifton „On the Mobius Strip” című történetében is használják. Alekszej A. Shepelev modern orosz író „Visszhang” (Szentpétervár: Amphora, 2003) című regényének menetét a Möbius-szalaggal hasonlítják össze. A könyv annotációjából: „A „Visszhang” a Mobius-gyűrű irodalmi analógiája: két történetszál – „fiúk” és „lányok” – összefonódik, egymásba áramlik, de nem metszik egymást.
Mindenki tudja, hogy a világunknak három dimenziója van, hogy a Föld a Nap körül kering, hogy minden felületnek két oldala van: felső és alsó... De rosszul tippelted! Nem akármilyen. Mert kiderült, hogy vannak felületek, amelyeknek csak az egyik oldala van, és ez tudományosan is bizonyított.
Ki a feltaláló?
Ezt a geometriai jelenséget szinte egyszerre, de egymástól függetlenül fedezte fel két német tudós: August Ferdinand Mobius és Johann Benedict Listing (1858). ? A matematikus maga készítette egy papírlapból, és kiderült, hogy ez az első egyoldalú felület, amelyet az emberiség ismer. Addig azt hitték, hogy egy adott felület egyik pontjáról nem lehet eljutni anélkül, hogy átlépnénk annak széleit.
Hogyan készítsünk Möbius csíkot saját kezűleg?
Te magad is megteheted készíts egy Mobius-szalag modelljétés saját tapasztalatai alapján győződj meg arról, hogy tényleg van egy oldala. Minden nagyon egyszerű. Ehhez szükséged lesz egy darab papírra, ollóra, ragasztóra, némi kétszínű festékre és természetesen a halhatatlan kíváncsiságodra.
Kezdjük azzal, hogy vágjunk ki egy körülbelül 24x4 cm-es papírcsíkot, majd az áttekinthetőség kedvéért jelöljük ki az A és B csík egyik oldalán a sarkokat, a másikon pedig C és D. Ezután a papírcsíkot egyszer csavarjuk meg és ragasszuk fel úgy, hogy az A szög egy vonalban legyen a D szöggel, és a B szög egy vonalban legyen a C szöggel. A kapott ábrát Möbius-szalagnak nevezzük.
Magát a terméket elkészítettük, most már csak azt kell kitalálni, hogyan ellenőrizzük a Mobius szalag egyoldalúságát. Ehhez vegyen fel bármilyen festéket, és kezdje el fokozatosan festeni a gyártott szalagot az egyik oldalon, centiméterről centiméterre, anélkül, hogy átlépné a szélét. A másik oldalra más színű festéket hagyunk. Hamar kiderül, hogy nincs mire használni, mert már egyáltalán nem maradt fehér papír. Így igaz, a Möbius-szalag egy egyoldalú felület.
A Möbius szalag vágása szintén nem várt eredményeket hoz. Hogyan készítsünk két Mobius csíkot egyből, de keskenyebbre? Úgy tűnik, lehetne egyszerűbb is: vedd és vágd pontosan a közepébe. De nem két gyűrű keletkezik, ahogy az várható volt, hanem egy nagy. A későbbi szalagátvágások egyre jobban meglepnek.
Hogyan vált a Möbius-szalag nélkülözhetetlen felfedezéssé 
Mindez szórakoztató és izgalmas, de a Mobius szalag nem csak egy érdekes játék. Sok tudós gondolkodott azon hogyan lehet egy Mobius-csíkot hasznossá tenni az emberiség számára, találjon rá méltó felhasználást. Napjainkban számos ilyen találmányt regisztráltak, köztük egy kétirányú hangrögzítési módszert a filmre a film visszatekerése nélkül, és speciális kazettákat szalagokhoz. 1969-ben pedig A. Gubaidullin szovjet feltaláló szerzői oklevelet kapott egy végtelenített csiszolószalagra, amely egy Möbius szalag alapján mindkét oldalon egyszerre működik.
Néhányan értetlenül álltak hogyan készítsünk Mobius csíkot a végtelen szimbólum egyfajta „őse”, mert valóban örökre mozgathatja a szalag felületét. De ez a tény nem igazolta magát, mivel ez a szimbólum már jóval Mobius felfedezése előtt létezett.
Ezek azok a csodálatos képességek, amelyekkel néhány látszólag egyszerű tárgy rendelkezik.
Möbius-szalag (Möbius-hurok, Möbius-szalag)- egyszerű kinézetű figura, de egy matematikus azt mondaná, hogy ez egy kétdimenziós felület, elképesztő tulajdonságokkal: csak egy oldala és egy éle van, ellentétben egy közönséges gyűrűvel, amely ugyanabból a csíkból tekerhető fel, mint egy Möbius csík, de két oldala és két széle lesz. Ezt könnyen ellenőrizheti, ha vonalat húz a szalag közepére anélkül, hogy felemelné a ceruzát a papírról, amíg vissza nem tér a kiindulási ponthoz. Meglepő, de igaz: a szalag félfordulatának köszönhetően felső és alsó széle egy folytonos vonalba olvadt össze, a két oldal pedig egyetlen egésszé alakult és egy oldal lett. És íme az eredmény: a Mobius szalag egyik pontjáról eljuthat a másikba anélkül, hogy átlépné a szélét.
Mobius szalagon futni
Egy külső szemlélő számára a Mobius-sávon tett utazás „körfutás”, tele meglepetésekkel. Jól láthatóan Maurits Escher (1898-1972) holland grafikus ábrázolta. A „The Mobius Strip II” festményen a hangyák futnak. Ha követi mozgásukat, érdekes felfedezést tehet. Miután megtett egy fordulatot a szalagon, minden hangya a kiindulási ponton lesz, de már antipód helyzetben lesz - vizuálisan a szalag „túloldalán” lesz fejjel lefelé. Mi történik egy kétdimenziós lénnyel, amely a Mobius sávon mozog? A felületet megkerülve tükörképe lesz (ez könnyen elképzelhető, ha a szalagot átlátszónak tekinti). Ahhoz, hogy önmaga legyen, egy kétdimenziós lénynek még egy kört kell tennie. Tehát a hangyának kétszer kell végigmennie a Möbius sávon, hogy visszatérjen kiinduló helyzetébe.
Tudományos kíváncsiság vagy hasznos felfedezés
A Möbius-csíkot gyakran nevezik matematikai érdekességnek. A megjelenését pedig a véletlennek tulajdonítják. A legenda szerint a szalagot egy német tudós találta fel, amikor meglátott egy rosszul megkötött nyakkendőt egy szobalányon. Híres matematikus és csillagász volt, Carl Friedrich Gauss tanítványa. Még 1858-ban írt le egy egyoldalas, egyélű felületet, de a lap még életében nem jelent meg. Ugyanebben az évben, Mobiustól függetlenül, Johann Listing, Gauss másik tanítványa is hasonló felfedezést tett.
A szalagot továbbra is Möbiusról nevezték el. Ez lett a topológia egyik első tárgya – az alakok legáltalánosabb tulajdonságait vizsgáló tudomány, nevezetesen azokat, amelyek a folyamatos (vágás és ragasztás nélküli) átalakítások során megmaradnak: nyújtás, összenyomás, hajlítás, csavarás stb. Ezek a transzformációk hasonlítanak a gumiból készült alakzatok deformációi, Ezért a topológiát más néven „gumi geometriának” nevezik. Néhány topológiai problémát Leonhard Euler még a 18. században megoldott. A matematika egy új területének kezdetét Listing „Preliminary Studies in Topology” (1847) című munkája jelentette, amely az első szisztematikus munka e tudományról. Ő alkotta meg a „topológia” kifejezést is (a görög szavakból τόπος - hely és λόγος - tanítás).
A Möbius-szalagot tudományos érdekességnek, a matematikusok újabb szeszélyének tekinthetnénk, ha nem talált volna gyakorlati alkalmazásra, és nem inspirálja a művészeket. Művészek nem egyszer ábrázolták, szobrászok állítottak neki emlékművet, írók pedig alkotásaikat. Ez a szokatlan felület felkeltette az építészek, tervezők, ékszerészek, sőt a ruha- és bútorgyártók figyelmét is. A feltalálók, tervezők és mérnökök figyeltek rá (például még az 1920-as években szabadalmaztatták a Möbius-szalag formájú hang- és filmszalagokat, ami lehetővé tette a felvétel időtartamának megduplázását). De a bűvészek gyakrabban foglalkoznak ezzel a csíkkal, mint mások: vonzzák őket a vágáskor megjelenő szokatlan tulajdonságok. Tehát ha egy Möbius csíkot a középső vonal mentén vágunk, az nem fog két részre szakadni, ahogyan azt várnánk . Egy keskenyebb és hosszabb kétoldalas ragasztószalag készül belőle, kétszer csavarva (a hullámvasút kialakítása hasonló formájú). Íme egy „kulináris trükk”: a Mobius csík formájú sütemények finomabbnak tűnnek, mint a hagyományosak, mert kétszer annyi krémet kenhetünk rájuk! Ezen kívül érdekes építészeti tervek találhatók az épületekről, amelyek „a Möbius-szalag stílusában készültek”. Egyelőre csak papíron léteznek, de hinni akarok, minden bizonnyal megvalósulnak.
"Kétértelmű" álláspont
Tulajdonságaival a Möbius-szalag tulajdonképpen egy tárgyra hasonlít a Through the Looking Glass-ból. És neki magának, mivel aszimmetrikus alkat, van egy tükörkettős. Küldjük el a jobb láb lenyomatát sétálni a szalagon, és hamarosan azt tapasztaljuk, hogy a bal láb lenyomata hazatér. Vicces, nem? És mikor vált a „jobboldalból” „baloldal”? „Rögzítsünk” egy kétdimenziós órát a szalagba, és kényszerítsük teljes körforgásra. Ha ránézünk az órára, látni fogjuk, hogy a számlap mutatói azonos sebességgel, de ellenkező irányban mozognak! És a két mozgási irány közül melyik a helyes?
Amíg a válaszon gondolkodik, megjegyzem, hogy egy matematikus még ebből a „kétértelmű” helyzetből is elegáns kiutat kínálna. Szükséges, hogy egyrészt az óra mindig ugyanazt az időt mutassa, másrészt a számlap mutatói olyan helyzetben legyenek, hogy a tükör tükröződése megmaradjon, például függőlegesen álljanak, és fordított szöget képezzenek.
Nos, nézzük a választ? Valójában egy Möbius-szalagon lehetetlen meghatározott forgásirányt beállítani. Ugyanaz a mozgás felfogható az óramutató járásával megegyező és az ellenkező irányú fordulatként is. Amikor a Möbius-sávon egy véletlenszerűen kiválasztott pont megkerüli azt, az egyik irány folyamatosan változik a másik felé. Ugyanakkor a „jobb” szót finoman felváltja a „bal”. Egy kétdimenziós lény önmagában nem vesz észre semmilyen változást. De látni fogják őket más hasonló lények és természetesen mi is, akik egy másik dimenzióból figyeljük a történéseket. Ez egy olyan kiszámíthatatlan, egyoldalú Möbius-felület.
Itt van - a csodálatos Mobius-szalag szerzője!
német matematikus és elméleti csillagász August Ferdinand Mobius(1790-1868) - a nagy Gauss tanítványa, híres geometria, a lipcsei egyetem professzora, az obszervatórium igazgatója. Hosszú évek tanítása, hosszú évek munkája – egy professzor hétköznapi élete.
És hú, ez életem végén történt! Elképesztő ötlet jött... ez volt élete legjelentősebb eseménye! Sajnos soha nem volt ideje felmérni találmánya jelentőségét. A híres Möbius-szalagról posztumusz jelent meg egy cikk.
Hogyan nevezik a matematikusok egy Mobius-csíkot (más néven Mobius-csíkot vagy Mobius-hurkot)?
A matematika nyelvén ez topológiai objektum, a legegyszerűbb egyoldalú felületéllel a közönséges háromdimenziós euklideszi térben, ahol e felület egyik pontjából a másikba juthatunk anélkül, hogy átlépnénk az éleket.
Elég összetett meghatározás!
Ezért kényelmesebb egyszerűen közelebbről megnézni a Mobius szalagot. Vegyünk egy papírcsíkot, csavarjuk fél fordulattal keresztbe (180 fok), és ragasszuk össze a végeit.
Máskor: „Anya nem veregette volna meg a fejem ilyen munkáért”! De ezúttal igazad van! Egy csavart gyűrűnek kell lennie.
Helyezzen egy pontot a csíkra valahova filctollal. Most húzunk egy vonalat a teljes szalagon, amíg újra nem találkozik az álláspontjával. Nem kellett sehol átmenni a szélén – ezt hívják egyoldalú felületnek.
Nézd, milyen érdekes a vonal, amit meghúztál: vagy a gyűrűn belül van, vagy kívül! Most mérje meg ennek a vonalnak a hosszát - pontról pontra.
Meglepődtél?
Kiderül, hogy kétszer olyan hosszú, mint az eredeti papírcsík!
Így kell lennie, mert egy Mobius csík van a kezedben! De a Möbius-szalagnak csak egy oldala van, és még egyszer elmondjuk - ez egy egyoldalú felület, éllel.
És ha egy hangyát arra kényszerítesz, hogy ezen a vonalon mászkáljon anélkül, hogy megfordulna, akkor megkapod Maurice Escher festményének másolatát.
Szegény hangya egy végtelen úton
Vagy készíthet két kissé eltérő Möbius csíkot: az egyikben a ragasztás előtt csavarja a csíkot az óramutató járásával megegyező irányba, a másikban pedig az óramutató járásával ellentétes irányba. Így különbözik a jobb és a bal Möbius csík.
És most érdekes meglepetések Moebius szalaggal:
1. Vágja körbe a Moebius csíkot a középvonal mentén. Ne félj, nem esik ketté! A szalag hosszú, zárt szalaggá bontakozik ki, kétszer annyi csavart, mint az eredeti. Miért nem esik szét egy Möbius csík külön részekre, ha így vágják?
A vágás nem érintette a szalag szélét, így a vágás után a széle (és így a teljes papírcsík) egy egész darab marad.
2. Vágja le az első kísérlet után kapott Mobius csíkot (az eredetinél kétszer annyiszor csavarva, azaz 360 fokban) a középvonala mentén.
Mi fog történni?
Most két egyforma, de egymásba zárt Möbius-csík lesz a kezedben.
3. Készíts egy új Möbius csíkot, de ragasztás előtt ne egyszer, hanem háromszor forgasd el (nem 180 fokkal, hanem 540). Ezután vágja a középvonal mentén.
Mi történt?
A végén egy zárt szalagot kell becsavarni trefoil csomó, azaz egy egyszerű csomóba három önmetszésponttal.
4. Ha a ragasztás előtt még több félfordulatszámmal készít Mobius csíkot, akkor váratlan és meglepő figurákat kap, ún. paradromikus gyűrűk.
5. Ha egy Möbius csíkot vágunk le, de nem középen, hanem a szélétől a szélességének körülbelül egyharmadával hátralépve, akkor két egymásba illeszkedő csíkot kapunk, az egyik egy rövidebb Möbius csík, a másik pedig egy hosszú Möbius csík kettővel. félfordulatokat.
Nézze meg, hogyan valósítható meg ez a gyakorlatban:
A Möbius sávhoz közeli egyoldalú felület az Klein üveg.
Érdekes módon egy Klein palack készíthető úgy, hogy két Moebius csíkot összeragasztunk a széleken. A közönséges háromdimenziós euklideszi térben azonban ez lehetetlen önmetszés létrehozása nélkül.
A Mobius-szalaghoz egy másik érdekes tárgy is kapcsolódik. Ez Moebius ellenállás.
A történelemben gyakran előfordulnak olyan esetek, amikor egy ötlet egyszerre több feltalálónak is eszébe jut. Ez történt a Mobius-szalaggal. Ugyanebben 1858-ban a szalag ötlete egy másik tudóshoz jutott - Johann Listing. Ő adta a nevet a folytonosságot vizsgáló tudománynak - topológia. A topológiai objektum – a szalag – felfedezésében pedig August Mobius lett a bajnok.
Csendesen találkozunk a Mobius csíkokkal a különféle eszközökben: ezek a tintaszalagok mátrix nyomtatókban, szíjhajtásokban, csiszolóeszközökben, szállítószalagokban és sok másban. Ebben az esetben a termék élettartama megnő, mert kopás csökken. Folyamatos felvételi rendszerekben pedig a Mobius szalag használatával megduplázható a felvételi idő egy kazettán.
A titokzatos Mobius-szalag mindig is izgatta az írók, művészek és szobrászok elméjét.
A Mobius szalagmintát a grafikákban használják. Emlékezzen például a híres népszerű tudományos könyvsorozat „Quantum Library” emblémájára vagy az újrahasznosítás nemzetközi szimbólumára.
