Energija yra svarbiausia mechanikos sąvoka. Kas yra energija? Yra daug apibrėžimų, ir čia yra vienas iš jų.
Kas yra energija?
Energija – tai organizmo gebėjimas atlikti darbą.
Panagrinėkime kūną, kuris judėjo veikiamas tam tikrų jėgų ir pakeitė savo greitį iš v 1 → į v 2 → . Šiuo atveju kūną veikiančios jėgos atliko tam tikrą darbo kiekį A.
Visų kūną veikiančių jėgų atliktas darbas yra lygus rezultatyviosios jėgos atliekamam darbui.
F r → = F 1 → + F 2 →
A = F 1 · s · cos α 1 + F 2 · s · cos α 2 = F р cos α .
Nustatykime ryšį tarp kūno greičio kitimo ir kūną veikiančių jėgų atliekamo darbo. Paprastumo dėlei manysime, kad kūną veikia viena jėga F →, nukreipta išilgai tiesės. Veikiamas šios jėgos, kūnas juda tolygiai pagreitintai ir tiesia linija. Šiuo atveju vektoriai F → , v → , a → , s → kryptimi sutampa ir gali būti laikomi algebriniais dydžiais.
Jėga F → atliktas darbas lygus A = F s. Kūno judėjimas išreiškiamas formule s = v 2 2 - v 1 2 2 a. Iš čia:
A = F s = F v 2 2 - v 1 2 2 a = m a v 2 2 - v 1 2 2 a
A = m v 2 2 - m v 2 2 2 = m v 2 2 2 - m v 2 2 2 .
Kaip matome, jėgos atliktas darbas yra proporcingas kūno greičio kvadrato pokyčiui.
Apibrėžimas. Kinetinė energija
Kūno kinetinė energija yra lygi pusei kūno masės ir jo greičio kvadrato sandaugos.
Kinetinė energija yra kūno judėjimo energija. Nuliniu greičiu jis yra nulis.
Tema apie kinetinę energiją
Dar kartą atsigręžkime į nagrinėjamą pavyzdį ir suformuluokime teoremą apie kūno kinetinę energiją.
Kinetinės energijos teorema
Kūną veikiančios jėgos atliktas darbas yra lygus kūno kinetinės energijos pokyčiui. Šis teiginys taip pat teisingas, kai kūnas juda veikiamas jėgos, besikeičiančios pagal dydį ir kryptį.
A = E K 2 - E K 1 .
Taigi kūno masės m, judančio greičiu v →, kinetinė energija yra lygi darbui, kurį turi atlikti jėga, kad pagreitintų kūną iki šio greičio.
A = m v 2 2 = E K .
Norint sustabdyti kūną, reikia dirbti
A = - m v 2 2 =- E K
Kinetinė energija yra judėjimo energija. Kartu su kinetine energija yra ir potenciali energija, tai yra kūnų sąveikos energija, kuri priklauso nuo jų padėties.
Pavyzdžiui, kūnas iškeltas virš žemės paviršiaus. Kuo aukščiau jis pakeltas, tuo didesnė potenciali energija. Kai kūnas nukrenta veikiamas gravitacijos, ši jėga veikia. Be to, gravitacijos darbą lemia tik vertikalus kūno judėjimas ir jis nepriklauso nuo trajektorijos.
Svarbu!
Apskritai apie potencialią energiją galime kalbėti tik tų jėgų kontekste, kurių darbas nepriklauso nuo kūno trajektorijos formos. Tokios jėgos vadinamos konservatyviosiomis (arba dissipacinėmis).
Disipacinių jėgų pavyzdžiai: gravitacija, tamprumo jėga.
Kai kūnas juda vertikaliai aukštyn, gravitacija atlieka neigiamą darbą.
Panagrinėkime pavyzdį, kai rutulys judėjo iš taško, kurio aukštis h 1, į tašką, kurio aukštis h 2.
Šiuo atveju gravitacijos jėga atliko darbą, lygią
A = - m g (h 2 - h 1) = - (m g h 2 - m g h 1) .
Šis darbas lygus reikšmės m g h pokyčiui, paimtam su priešingu ženklu.
Reikšmė E P = m g h yra potencinė energija gravitacijos lauke. Nuliniame lygyje (žemėje) kūno potencinė energija yra lygi nuliui.
Apibrėžimas. Potencinė energija
Potenciali energija yra visos mechaninės sistemos, esančios išsklaidymo (konservatyviųjų) jėgų lauke, dalis. Potenciali energija priklauso nuo taškų, sudarančių sistemą, padėties.
Galima kalbėti apie potencinę energiją gravitacijos lauke, potencinę suspaustos spyruoklės energiją ir kt.
Gravitacijos atliktas darbas lygus potencialios energijos pokyčiui, paimtam priešingu ženklu.
A = - (E P 2 - E P 1) .
Aišku, kad potenciali energija priklauso nuo nulinio lygio pasirinkimo (OY ašies pradžios). Pabrėžkime, kad fizinė prasmė yra pakeisti potenciali energija, kai kūnai juda vienas kito atžvilgiu. Pasirinkus bet kokį nulinį lygį, potencialios energijos pokytis bus toks pat.
Skaičiuojant kūnų judėjimą Žemės gravitaciniame lauke, tačiau dideliais atstumais nuo jo, būtina atsižvelgti į visuotinės gravitacijos dėsnį (gravitacijos jėgos priklausomybę nuo atstumo iki Žemės centro) . Pateiksime formulę, išreiškiančią kūno potencinės energijos priklausomybę.
E P = - G m M r .
Čia G yra gravitacinė konstanta, M yra Žemės masė.
Pavasario potenciali energija
Įsivaizduokime, kad pirmuoju atveju paėmėme spyruoklę ir pailginome ją dydžiu x. Antruoju atveju iš pradžių spyruoklę pailginome 2 x, o po to sumažinome x. Abiem atvejais spyruoklė buvo ištempta x, tačiau tai buvo padaryta skirtingais būdais.
Šiuo atveju tamprumo jėgos darbas, kai spyruoklės ilgis pasikeičia x abiem atvejais buvo toks pat ir lygus
A y p r = - A = - k x 2 2 .
Dydis E y p = k x 2 2 vadinamas suspaustos spyruoklės potencine energija. Jis lygus darbui, kurį atlieka tamprumo jėga, pereinant iš tam tikros kūno būsenos į būseną su nuline deformacija.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Energija yra skaliarinis dydis. SI energijos vienetas yra Džaulis.
Kinetinė ir potenciali energija
Yra dvi energijos rūšys – kinetinė ir potencialinė.
APIBRĖŽIMAS
Kinetinė energija- tai energija, kurią kūnas turi dėl savo judėjimo:
APIBRĖŽIMAS
Potencinė energija yra energija, kurią lemia santykinė kūnų padėtis, taip pat šių kūnų sąveikos jėgų pobūdis.
Potenciali energija Žemės gravitaciniame lauke yra energija, atsirandanti dėl gravitacinės kūno sąveikos su Žeme. Jis nustatomas pagal kūno padėtį Žemės atžvilgiu ir yra lygus darbui, kai kūnas perkeliamas iš tam tikros padėties į nulinį lygį:
Potenciali energija yra energija, kurią sukelia kūno dalių sąveika tarpusavyje. Jis lygus išorinių jėgų darbui nedeformuotos spyruoklės įtempime (suspaudime) dydžiu:
Kūnas vienu metu gali turėti ir kinetinę, ir potencialią energiją.
Kūno ar kūnų sistemos bendra mechaninė energija yra lygi kūno (kūnų sistemos) kinetinės ir potencinės energijų sumai:
Energijos tvermės dėsnis
Uždarai kūnų sistemai galioja energijos tvermės dėsnis:
Pavyzdžiui, kai kūną (ar kūnų sistemą) veikia išorinės jėgos, mechaninės energijos tvermės dėsnis netenkinamas. Šiuo atveju kūno (kūnų sistemos) suminės mechaninės energijos pokytis yra lygus išorinėms jėgoms:
Energijos tvermės dėsnis leidžia nustatyti kiekybinį ryšį tarp įvairių materijos judėjimo formų. Kaip ir , jis galioja ne tik, bet ir visiems gamtos reiškiniams. Energijos tvermės dėsnis sako, kad energija gamtoje negali būti sunaikinta, kaip ji negali būti sukurta iš nieko.
Bendriausia forma energijos tvermės dėsnį galima suformuluoti taip:
- Energija gamtoje neišnyksta ir vėl nesusikuria, o tik virsta iš vienos rūšies į kitą.
Problemų sprendimo pavyzdžiai
1 PAVYZDYS
| Pratimas | 400 m/s greičiu skriejanti kulka atsitrenkia į molinį veleną ir nukeliauja 0,5 m iki sustojimo. Nustatykite veleno pasipriešinimą kulkos judėjimui, jei jos masė 24 g. |
| Sprendimas | Veleno pasipriešinimo jėga yra išorinė jėga, todėl šios jėgos atliktas darbas yra lygus kulkos kinetinės energijos pokyčiui: Kadangi veleno pasipriešinimo jėga yra priešinga kulkos judėjimo krypčiai, šios jėgos atliekamas darbas: Kulkos kinetinės energijos pokytis: Taigi, galime rašyti: iš kur atsiranda žemės pylimo pasipriešinimo jėga: Perverskime vienetus į SI sistemą: g kg. Apskaičiuokime pasipriešinimo jėgą: |
| Atsakymas | Veleno pasipriešinimo jėga yra 3,8 kN. |
2 PAVYZDYS
| Pratimas | 0,5 kg sveriantis krovinys iš tam tikro aukščio krenta ant 1 kg sveriančios plokštės, sumontuotos ant spyruoklės, kurios standumo koeficientas 980 N/m. Nustatykite didžiausio spyruoklės suspaudimo dydį, jei smūgio momentu apkrovos greitis būtų 5 m/s. Smūgis neelastingas. |
| Sprendimas | Užrašykime apkrovą + plokštelę uždarai sistemai. Kadangi smūgis yra neelastingas, turime: iš kur atsiranda plokštės greitis su apkrova po smūgio:
Pagal energijos tvermės dėsnį bendra apkrovos mechaninė energija kartu su plokšte po smūgio yra lygi suspaustos spyruoklės potencinei energijai: |
Kinetinė energija mechaninės sistemos yra šios sistemos mechaninio judėjimo energija.
Jėga F, veikdamas ramybės būsenoje esantį kūną ir priversdamas jį judėti, atlieka darbą, o judančio kūno energija didėja sunaudojamo darbo kiekiu. Taigi darbas dA jėga F keliu, kurį kūnas praėjo padidindamas greitį nuo 0 iki v, jis eina didinti kinetinę energiją dT kūnai, t.y.
Naudojant antrąjį Niutono dėsnį F=md v/dt
ir padauginus abi lygybės puses iš poslinkio d r, mes gauname
F d r=m(d v/dt)dr=dA
Taigi masės kūnas T, juda greičiu v, turi kinetinę energiją
T = tv 2 /2. (12.1)
Iš (12.1) formulės aišku, kad kinetinė energija priklauso tik nuo kūno masės ir greičio, tai yra, sistemos kinetinė energija yra jos judėjimo būsenos funkcija.
Išvedant (12.1) formulę buvo daroma prielaida, kad judėjimas buvo nagrinėjamas inercinėje atskaitos sistemoje, nes kitu atveju Niutono dėsnių naudoti būtų neįmanoma. Skirtingose inercinėse atskaitos sistemose, judančiose viena kitos atžvilgiu, kūno greitis, taigi ir jo kinetinė energija, nebus vienodas. Taigi, kinetinė energija priklauso nuo atskaitos rėmo pasirinkimo.
Potencinė energija - kūnų sistemos mechaninė energija, nulemta jų tarpusavio išsidėstymo ir tarpusavio sąveikos jėgų pobūdžio.
Tegul kūnų sąveika vyksta per jėgų laukus (pavyzdžiui, tamprumo jėgų lauką, gravitacinių jėgų lauką), pasižyminčius tuo, kad veikiančių jėgų atliekamas darbas perkeliant kūną iš vienos padėties į kitą atlieka nepriklauso nuo trajektorijos, kuria šis judėjimas įvyko, ir priklauso tik nuo pradžios ir pabaigos padėčių. Tokie laukai vadinami potencialus, o juose veikiančios jėgos yra konservatyvus. Jei jėgos atliktas darbas priklauso nuo kūno judėjimo iš vieno taško į kitą trajektorijos, tai tokia jėga vadinama išsklaidymo; to pavyzdys yra trinties jėga.
Kūnas, būdamas potencialiame jėgų lauke, turi potencinę energiją II. Konservatyvių jėgų atliktas darbas elementaraus (begalinio mažo) sistemos konfigūracijos pakeitimo metu yra lygus potencialios energijos padidėjimui, paimtam su minuso ženklu, nes darbas atliekamas dėl potencinės energijos sumažėjimo:
Darbas d A išreikštas jėgos taškine sandauga F perkelti d r o išraišką (12.2) galima parašyti kaip
F d r=-dP. (12.3)
Todėl, jei funkcija P( r), tada iš (12.3) formulės galima rasti jėgą F pagal modulį ir kryptį.
Potenciali energija gali būti nustatyta remiantis (12.3) as
kur C yra integravimo konstanta, ty potenciali energija nustatoma iki kokios nors savavališkos konstantos. Tačiau tai neatsispindi fiziniuose dėsniuose, nes jie apima arba potencialių energijų skirtumą dviejose kūno padėtyse, arba P išvestinę koordinačių atžvilgiu. Todėl tam tikroje padėtyje esančio kūno potenciali energija laikoma lygi nuliui (pasirenkamas nulinis atskaitos lygis), o kūno energija kitose padėtyse matuojama nulinio lygio atžvilgiu. Konservatyvioms jėgoms
arba vektorine forma
F=-gradP, (12.4) kur
(i, j, k- koordinačių ašių vienetiniai vektoriai). Išreiškiamas (12.5) vektorius vadinamas skaliaro P gradientas.
Jai kartu su žymėjimu grad P taip pat naudojamas žymėjimas P. („nabla“) reiškia simbolinį vektorių, vadinamą operatoriusHamiltonas arba per nabla operatorių:
Konkreti funkcijos P forma priklauso nuo jėgos lauko pobūdžio. Pavyzdžiui, masės kūno potencinė energija T, pakeltas į aukštį h virš Žemės paviršiaus yra lygus
P = mgh,(12.7)
kur yra aukštis h matuojamas nuo nulinio lygio, kuriam P 0 = 0. Išraiška (12.7) tiesiogiai išplaukia iš to, kad potencinė energija yra lygi gravitacijos darbui, kai kūnas krenta iš aukščio hį Žemės paviršių.
Kadangi kilmė pasirenkama savavališkai, potenciali energija gali turėti neigiamą reikšmę (kinetinė energija visada yra teigiama. !} Jei Žemės paviršiuje gulinčio kūno potencinę energiją laikysime nuliu, tai kūno, esančio veleno apačioje, potencinę energiją (gylis h"), P = - mgh".
Raskime tampriai deformuoto kūno (spyruoklės) potencinę energiją. Tamprumo jėga yra proporcinga deformacijai:
F X kontrolė = -kx,
Kur F x kontrolė - tamprumo jėgos projekcija į ašį X;k- elastingumo koeficientas(pavasariui - standumas), o minuso ženklas tai rodo F x kontrolė nukreipta priešinga deformacijai kryptimi X.
Pagal trečiąjį Niutono dėsnį, deformuojanti jėga yra lygi tamprios jėgos dydžiui ir nukreipta jai priešingai, t.y.
F x =-F x kontrolė =kx Elementarus darbas dA, atliekama jėga F x esant be galo mažai deformacijai dx, yra lygus
dA = F x dx = kxdx,
pilną darbą
eina, kad padidintų potencinę spyruoklės energiją. Taigi tampriai deformuoto kūno potencinė energija
P =kx 2 /2.
Sistemos potenciali energija, kaip ir kinetinė energija, yra sistemos būsenos funkcija. Tai priklauso tik nuo sistemos konfigūracijos ir jos padėties išorinių kūnų atžvilgiu.
Bendra sistemos mechaninė energija- mechaninio judėjimo ir sąveikos energija:
y., lygi kinetinės ir potencinės energijų sumai.
Kūnų sąveikos energija. Pats kūnas negali turėti potencialios energijos. nulemta jėgos, veikiančios kūną nuo kito kūno. Kadangi tarpusavyje sąveikaujantys kūnai yra lygiaverčiai teisėmis, tai potencinė energija turi tik tarpusavyje sąveikaujantys kūnai.
A = Fs = mg (h 1 - h 2).
Dabar apsvarstykite kūno judėjimą pasvirusioje plokštumoje. Kai kūnas juda nuožulnia plokštuma žemyn, gravitacija veikia
A = mgscosα.
Iš paveikslo aišku, kad scosα = h, vadinasi
A = mgh.
Pasirodo, gravitacijos atliekamas darbas nepriklauso nuo kūno trajektorijos.
Lygybė A = mg (h 1 - h 2) galima parašyti formoje A = - (mgh 2 - mg h 1 ).
Tai yra gravitacijos darbas judant kūną su mase m nuo taško h 1 tiksliai h 2 pagal bet kurią trajektoriją yra lygus tam tikro fizikinio dydžio pokyčiui mgh su priešingu ženklu.
Fizinis dydis, lygus kūno masės sandaugai pagal laisvojo kritimo pagreičio modulį ir aukštį, iki kurio kūnas pakeltas virš Žemės paviršiaus, vadinamas potencialia kūno energija.
Potenciali energija žymima E r. E r = mgh, taigi:
A = - (E R 2 - E R 1 ).
Kūnas gali turėti tiek teigiamą, tiek neigiamą potencialią energiją. Kūno masė m gylyje h nuo Žemės paviršiaus turi neigiamą potencialią energiją: E r = - mgh.
Panagrinėkime tampriai deformuoto kūno potencinę energiją.
Pritvirtinkite jį prie spyruoklės su standumu k bloką, ištempkite spyruoklę ir atleiskite bloką. Veikiant elastinei jėgai, ištempta spyruoklė suaktyvins bloką ir perkels jį tam tikru atstumu. Apskaičiuokime darbą, kurį atlieka spyruoklės tamprumo jėga iš tam tikros pradinės vertės x 1 iki pabaigos x 2.
Tamprumo jėga keičiasi spyruoklės deformacijos metu. Norėdami rasti tamprumo jėgos atliktą darbą, galite paimti jėgos modulio ir poslinkio modulio vidutinės vertės sandaugą:
A = F u.sr(x 1 - x 2).
Kadangi tamprumo jėga yra proporcinga spyruoklės deformacijai, jos modulio vidutinė vertė yra lygi
Pakeitę šią išraišką į jėgos veikimo formulę, gauname:
Vadinamas fizikinis dydis, lygus pusei kūno standumo sandaugos iš jo deformacijos kvadrato potencinė energija elastingai deformuotas kūnas:
Iš kur tai išplaukia A = - (E p2 - E p1).
Kaip ir dydis mgh, potencinė energija tampriai deformuotas kūnas priklauso nuo koordinačių, kadangi x 1 ir x 2 yra spyruoklės pratęsimas ir tuo pačiu spyruoklės pabaigos koordinatės. Todėl galime teigti, kad potenciali energija visais atvejais priklauso nuo koordinačių.
Bet kuris kūnas visada turi energijos. Esant judėjimui, tai akivaizdu: yra greitis arba pagreitis, kuris, padaugintas iš masės, duoda norimą rezultatą. Tačiau tuo atveju, kai kūnas yra nejudantis, jis, paradoksalu, taip pat gali būti apibūdinamas kaip turintis energijos.
Taigi, jis atsiranda judant, potencialas – kelių kūnų sąveikos metu. Jei su pirmuoju viskas daugiau ar mažiau akivaizdu, tai dažnai jėga, atsirandanti tarp dviejų nejudančių objektų, lieka nesuprantama.
Gerai žinoma, kad planeta Žemė įtakoja visus jos paviršiuje esančius kūnus dėl to, kad ji tam tikra jėga pritraukia bet kurį objektą. Kai objektas juda arba keičiasi jo aukštis, keičiasi ir energijos rodikliai. Iš karto kėlimo metu kūnas turi pagreitį. Tačiau aukščiausiame taške, kai objektas (net sekundės dalį) nejuda, jis turi potencialią energiją. Visa esmė ta, kad jį vis tiek link savęs traukia Žemės laukas, su kuriuo sąveikauja norimas kūnas.
Kitaip tariant, potenciali energija visada atsiranda dėl kelių objektų, kurie sudaro sistemą, sąveikos, nepriklausomai nuo pačių objektų dydžio. Be to, pagal numatytuosius nustatymus vieną iš jų atstovauja mūsų planeta.
Potenciali energija yra dydis, priklausantis nuo objekto masės ir aukščio, į kurį jis pakeltas. Tarptautinis pavadinimas – lotyniškos raidės Ep. taip:
Kur m yra masė, g yra pagreitis h yra aukštis.
Svarbu išsamiau apsvarstyti aukščio parametrą, nes jis dažnai tampa sunkumų sprendžiant problemas ir suprantant atitinkamos vertės reikšmę. Faktas yra tas, kad bet koks vertikalus kūno judėjimas turi savo pradžios ir pabaigos tašką. Norint teisingai nustatyti potencialią kūnų sąveikos energiją, svarbu žinoti pradinį aukštį. Jei jis nenurodytas, tada jo reikšmė lygi nuliui, tai yra, ji sutampa su Žemės paviršiumi. Jei žinomas ir pradinis atskaitos taškas, ir galutinis aukštis, reikia rasti skirtumą tarp jų. Gautas skaičius taps norimu h.
Taip pat svarbu pažymėti, kad potenciali sistemos energija gali būti neigiama. Tarkime, kad mes jau iškėlėme kūną aukščiau Žemės lygio, todėl jis turi aukštį, kurį vadinsime pradiniu. Nuleista formulė atrodys taip:
Akivaizdu, kad h1 yra didesnis nei h2, todėl reikšmė bus neigiama, o tai suteiks visai formulei minuso ženklą.
Įdomu, kad kuo toliau nuo Žemės paviršiaus yra kūnas, tuo didesnė potenciali energija. Kad geriau suprastume šį faktą, pagalvokime: kuo aukščiau kūną reikia pakelti virš Žemės, tuo kruopščiau bus atliktas darbas. Kuo didesnį darbą atlieka bet kokia jėga, tuo daugiau energijos investuojama, santykinai tariant. Kitaip tariant, potenciali energija yra galimybių energija.
Panašiu būdu galite išmatuoti kūnų sąveikos energiją, kai objektas yra ištemptas.
Nagrinėjamos temos rėmuose būtina atskirai aptarti įkrautos dalelės ir elektrinio lauko sąveiką. Tokioje sistemoje bus potencialaus krūvio energija. Panagrinėkime šį faktą išsamiau. Bet kokį krūvį, esantį elektriniame lauke, veikia ta pati jėga. Dalelė juda dėl šios jėgos atliekamo darbo. Atsižvelgiant į tai, kad pats krūvis ir (tiksliau jį sukūręs kūnas) yra sistema, gauname ir potencialią krūvio judėjimo tam tikrame lauke energiją. Kadangi ši energijos rūšis yra ypatingas atvejis, jai buvo suteiktas elektrostatinės energijos pavadinimas.
