МОУ «Будагівська середня загальноосвітня школа» Тема: Виконав: Шалигін Іван Учень 5 класу Керівник: Калаш Г.В. Вчитель математики Будагове 2012 1 ЕПІГРАФ: У тривимірному просторі Ми з вами живемо, Гуляємо, граємо і в школу йдемо Так більше дізнатися б про нього не заважало Дослідити все Про простір спочатку. Все що довкола, нам звично і мило. Шлях нам у науку служниця відкрила. Стрічка з помилкою пошита була, Сенс для нащадків вона набула. Так Мебіус – лист для науки знайшов, Розділ у математиці свій набув. Гілка, що поверхні тіл вивчає З того часу топологією все називають. Як муху на стрічці зі шляху не згорнути? На жаль, має бути нескінченний їй шлях. 2 Зміст I. Аркуш Мебіуса 1.Зміст……………………………………………………………………………………………………..3 2.Введение.……………………………………………………………………………………………………….4 3.Історична довідка… …………………………………………………………………………………..5 4.Топологія – "Геометрія становища"….....…… ………………………………………………….5 II. Дослідження Експерименти з папером: 1. Зафарбовування поверхні Листа Мебіуса…………………………………7 2. Розрізання Листа Мебіуса: ………………………………………………… ………….8 а) вздовж листа на дві рівні частини…………………………………………..……….9 б) під час операції перекручування стрічки………………… ………………………10 в) кількох стрічок склеєних під прямим кутом…………………………11 г) кілька розрізів уздовж листа на 3; 4; 5; частей.…………………….12 3. За результатами експериментів заповнити таблицы….………………..12 4. Зробити висновки, отримані за результатами проведених исследований………………………… …………………………………………………………12 5. Фокуси зі стрічкою Мёбиуса……………………………………………………… ……..13 6. Експерименти з мотузкою та жилетом. …………………………………………14 III. Практичне застосування стрічки Мёбиуса ……………………………………….15 IV Висновок……………………………………………………………………… ……………………….16 V. Список використаної литературы……………………………………………………..17 VI. Додаток…………………………………………………………………………………………….18 Практичне заняття гуртка математики з дослідження Стрічки Мебіуса в 5 класі ( фотографії та кадри відеозапису, зроблені Шалигіним Іваном)…………………………………………………………………………………………………………… 17 3 Вступ Загальна характеристика проекту: 1. Проект «Геометрія у просторі» тривалий (Розрахований другого і третьої чверті) 2. Проект пізнавальний, дослідницький. (Дослідження та експеримент, систематизація та практичне застосування). 3. Проект груповий (Робота на засіданнях гуртка з учнями 5 класу) 4. Проект розширений. (Проводиться у рамках школи з подальшим захистом розділу проекту у формі реферату та презентації на районній конференції «За сторінками підручника математики») 5. За результатами розділу проекту на тему: «Секрети аркуша Мебіуса» підготував реферат та виступив керівник IV групи Шалигін Іван. Мета роботи: 1. Познайомитися з новим розділом математики – «Топологією», з її основними поняттями і завданнями, виконати у практичних цілях дослідження та зробити собі відкриття. 2. Сформувати перше уявлення про Ліст Мебіуса. Ознайомитись з основними прийомами математичного підходу до навколишнього світу. 3. Навчитися проводити дослідження, описувати результати, заповнювати таблиці та виконувати отримані креслення та малюнки моделей, отриманих у ході експерименту. 4. Навчитися робити аргументовані висновки, генерувати ідеї щодо вирішення ситуацій, застосовувати знання до вирішення нових завдань та проблем. 5. Провести практичні експерименти. 6. Встановити зв'язок розглянутого матеріалу з життям. 4 Історична довідка Август Фердинанд Мёбіус (1790-1868) На вулиці йшов дощ. Було викурено люльку, випито чашку улюбленої кави з молоком. Вигляд з вікна навівав тугу. У кріслі сидів чоловік. Думки були різні, але якось нічого особливого не спадало на думку. Лише у повітрі витало відчуття, що саме цей день принесе славу та увічнить ім'я Августа Фердинанда Мебіуса. На порозі кімнати з'явилася кохана дружина. Щоправда, вона була не в хорошому настрої. Правильніше сказати, вона була розгнівана, що для мирного будинку Мебіусів було майже так само неймовірно, як тричі на рік побачити парад планет, і категорично вимагала негайно звільнити служницю, яка настільки бездарна, що навіть не здатна правильно пошити стрічку. Похмуро розглядаючи злощасну стрічку, професор вигукнув: "Ай так, Марто! Дівчинка не така вже дурна. Адже це одностороння кільцева поверхня. У стрічки немає вивороту!" Відкрита поверхня отримала математичне обгрунтування та ім'я на честь описуючого її математика і астронома. здебільшого вивчає поверхні тіл, і вона знаходить математичну спорідненість між предметами, які, здавалося б, ніяк між собою не пов'язані. вони різні. 5 Стрічка Мебіуса започаткувала нову науку – топологію. стрічки. Наука ця молода і тому пустотлива. Інакше не скажеш про правила гри, які в ній прийняті. Будь-яку фігуру тополог має право згинати, скручувати, стискати та розтягувати – робити з нею все що завгодно, тільки не розривати та не склеювати. І при цьому він вважатиме, що нічого не сталося, всі її властивості залишилися незмінними. Для нього немає жодного значення ні відстані, ні кути, ні площі. А що його цікавить? Найзагальніші властивості фігур, які не змінюються за жодних перетворень, якщо тільки не трапляється катастрофи – "вибуху" фігури. Тому іноді топологію називають "геометрією безперервності". Вона відома і під ім'ям "гумова геометрія", тому що топологу нічого не варто помістити всі свої фігури на поверхню дитячої надувної кульки і без кінця змінювати її форму, стежачи лише за тим, щоб кулька не лопнула. А те, що при цьому прямі лінії , наприклад, сторони трикутника, перетворяться на криві, для тополога глибоко байдуже. Які ж незвичайні властивості фігур вивчає топологія? то, на відміну від двосторонніх поверхонь (наприклад, сфери і циліндра), потрапляєш у місце, перевернуте по відношенню до вихідного. Іншими властивостями, які вивчає топологія, є безперервність, зв'язність, орієнтованість. Наприклад, безперервність – це ще одна топологічна властивість. Якщо ви порівняєте схему літакових маршрутів і географічну карту, то переконайтеся, що масштаб аерофлотом далеко не витриманий - скажімо, Свердловськ може виявитися на півдорозі від Москви до Владивостока. І все-таки щось спільне між географічною картою є. Москва справді пов'язана зі Свердловськом, а Свердловськ – з Владивостоком. І, тому, тополог може, як завгодно деформувати карту, аби лише точки, що раніше були сусідами, залишалися одна біля іншої і далі. А значить, з топологічної точки зору коло не відрізняється від квадрата або трикутника, тому що їх легко перетворити один на інший, не порушуючи безперервності. На аркуші Мебіуса будь-яка точка може бути з'єднана з будь-якою іншою точкою і при цьому мурахою на гравюрі Ешера жодного разу не доведеться переповзати через край "стрічки". Розривів немає - безперервність повна. Експерименти з папером. Щоб зробити лист Мебіуса треба взяти досить витягнуту паперову смужку та з'єднати кінці смужки, попередньо перевернувши один із них. Перебуваючи на поверхні аркуша Мебіуса, можна було б йти по ній вічно. Ми розглянемо зараз кілька дослідів із поверхнями та отворами, отриманими з паперової смужки. Найзручніше використовувати смужки довжиною приблизно 30 – 40 см та шириною 3см. Насамперед, склеїмо два кільця – одне просте та одне перекручене. 7 Кільця, звичайно, дуже схожі; але що вийде, якщо провести безперервну лінію по одній із сторін обручки? Коли Мебіус зробив це на перекрученому кільці, він виявив, що лінія пройшла по обидва боки, хоча його олівець не відривався від паперу. Чи означає це, що наше кільце має лише один бік? Випробуй тепер свої обручки. 1. Зафарбуй повністю лише одну сторону кожного з них. Скільки у них поверхонь? Спробуйте пофарбувати одну сторону аркуша Мебіуса – шматок за шматком, не переходячи через край стрічки. І що ж? Ви зафарбуєте весь лист Мебіуса! Чим же цікавий цей лист? А тим, що у аркуша Мебіуса – лише одна сторона. Ми ж звикли до того, що у будь-якої поверхні, з якою маємо справу (аркуш паперу, велосипедна або волейбольна камера) – дві сторони. 8 2. Постав точку на одній стороні кожного кільця і чорти безперервну лінію вздовж нього, поки не прийдеш знову у зазначену точку. Скільки країв має стрічка Мебіуса? Несподіванка номер два: кордон у аркуша Мебіуса одна, а не складається з двох частин, як у звичайного кільця. Випробуємо кільця, розрізаючи їх на дві частини вздовж. Зараз вийдуть два окремі кільця. Але що ж це? Замість двох кілець виходить одне! Причому воно більше і тонше початкового кільця. Запиши результати подальших перекручування та розрізання в таблицю. Декілька перекручувань. 9 А що вийде, якщо зробити повний обіг? Скільки країв має кільце, що вийшло? Скільки поверхонь? А що вийде, якщо розрізати його навпіл уздовж? Проведемо кілька досліджень із перекручуванням на півоберта. На повний оборот, півтора обороту. Опишемо властивості і зробимо ескізи результатів. Стрічка Мёбіуса має цікаві властивості. Якщо спробувати розрізати стрічку навпіл по лінії, рівновіддалену від країв, замість двох стрічок Мебіуса вийде одна довга двостороння (вдвічі більше закручена, ніж стрічка Мебіуса) стрічка, яку фокусники називають "афганська стрічка". Якщо тепер цю стрічку розрізати посередині, вийдуть дві намотані одна на одну. Інші цікаві комбінації стрічок можуть бути отримані зі стрічок Мебіуса з двома або більше оборотами в них. Наприклад, якщо розрізати стрічку з трьома напівоборотами, то вийде стрічка, завита у вузол трилисника. Розріз стрічки Мебіуса з додатковими оборотами дає несподівані фігури, які називаються парадромними кільцями. Запишемо результати перекручування та розрізання в таблицю досліджень. Таблиця досліджень № 1 З однією стрічкою № п/п Число напівоборотів 1 0 Результат одного розрізання навпіл уздовж Два кільця Властивості 2 1 Одне кільце Кільце вдвічі довше 3 2 Два кільця Кільця тієї ж довжини зчеплені один з одним 4 3 Одне кільце Кільце вдвічі довше вузлом Кільця вдвічі вже тієї ж довжини 10 Ескіз Висновки: Що вийде, якщо перед склеюванням стрічки перекрутити її двічі (тобто 4 півоберти на 360 градусів)? Така поверхня буде вже двосторонньою. І щоб зафарбувати все кільце, вам доведеться неодмінно перевернути стрічку на інший бік. Властивості цієї поверхні не менш дивовижні. Адже якщо розрізати її вздовж посередині, то ви отримаєте два однакові кільця, але знову ж таки зчеплених між собою. Розрізавши кожне з них ще раз уздовж посередині, ви виявите вже чотири кільця, з'єднані один з одним. Можна тепер рвати кільця по черзі – і щоразу ті, що залишилися, будуть як і раніше зчеплені разом. Якщо взяти не паперову стрічку, а смугу будь-якої тканини, повернути одне із кінців смужки на три повних обороту, тобто. на 540 градусів, пошити обидва кінці. Потім взяти ножиці і акуратно розрізати смужку посередині, потім розрізати ще раз, виходить три однакових кільця, зчеплених між собою. Кілька стрічок Ми вразимося, що вийде, якщо розрізати подвійне кільце. Приготуйте два кільця: одне звичайне та одне Мебіусове. Склейте їх під прямим кутом, а потім обоє розріжте вздовж. Таблиця досліджень № 2 № п/п Кількість кілець 1 Два кільця розташовані перпендикулярно один до одного. Результат розрізання вздовж кожної стрічки Три кільця Властивості Два кільця тієї ж довжини, третя вдвічі довша. Два кільця меншої довжини переплетені в парі третім кільцем 11 Ескіз Додаткове питання Кілька розрізів Якщо розрізати стрічку на відстань 1/3 її ширини від краю, вийти два кільця. Але! Одне велике та зчеплене з ним маленьке. Таблиця досліджень № 3 № п/п Кількість розрізів 1 Три частини Результат розрізання вздовж кожної стрічки Два кільця Властивості Одне кільце тієї ж довжини, друге вдвічі довше зчеплене один з одним 12 Ескіз 2 Чотири частини Два кільця Вдвічі довше довше розрізаного, зчеплені один з другом. Одне з кілець переплело інше 3 П'ять частин Три кільця Два кільця вдвічі довші переплетені один з одним і зчеплені разом у пару третім коротким кільцем початкової довжини Висновки: Якщо ж розрізати ще й маленьке кільце вздовж, посередині, то у вас виявиться дуже "вигадливе" переплетення двох кілець – однакових за розміром, але різних за шириною. адже ми бачимо перед собою... правильно, дзеркального свого двійника! В силу своїх незвичайних властивостей стрічка Мебіуса широко використовується протягом останніх 75 років фокусниками. (вдвічі більше закручена, ніж стрічка Мёбіуса) стрічка, яку фокусники називають «афганська стрічка». Ось один із них: Вручаємо глядачеві три великі паперові кільця, кожне з яких вийшло шляхом склеювання кінців паперової стрічки. (Таблиця досліджень 1). Глядач розрізає ножицями кільця вздовж стрічки посередині, доки не повернеться у вихідну точку. В результаті з першого вийде два готельні кільця. З другого - одне кільце, але вдвічі довше, а з третього - два кільця, зчеплені один з одним. 13 Якщо тричі перекручену стрічку просмикнути крізь перстень склеїти кінці, а потім розрізати її вздовж посередині, то отримаємо одне велике кільце з вузлом, зав'язаним навколо персня. Аналогічно для фокусів можна використовувати таблиці досліджень 2 та 3. Експерименти з мотузкою та жилетом. Фокуси зі стрічкою Мебіуса є частиною топологічних фокусів, для проведення яких необхідні гнучкі матеріали, які не змінюються при безперервних перетвореннях: розтягування та стиснення. Для виконання експериментів необхідні шарф, жилет, мотузки. Спершу ставимо перед собою проблемну ситуацію. За допомогою експериментів шукаємо вихід із ситуації. Експеримент 1. Проблема зав'язування вузлів. Як зав'язати на шарфі вузол, не випускаючи з його кінців? Це можна зробити так. Покладіть шарф на стіл. Схрестіть руки на грудях. Продовжуючи тримати їх у такому положенні, нагніть до столу і по черзі візьміть по одному кінці шарфа кожною рукою. Після того, як руки будуть розведені, в середині шарфа сам собою вийде вузол. Користуючись топологічною термінологією, можна сказати, що руки глядача, його корпус і шарф утворюють замкнуту криву у вигляді "трьохлистого" вузла. При розведенні рук вузол тільки переміщається з рук на хустку. жилета необхідно зчепити пальці рук за спиною. Оточуючі повинні вивернути жилет навмисне, не рознімаючи рук власника. руки зчеплені. Тепер потрібно взяти ліву підлогу жилета і, намагаючись не зім'яти жилет, просунути її якнайдалі в праву пройму і просунути її в ту ж пройму і в тому ж напрямі. Той же самий експеримент можна провести і, не розстібаючи жилета. Тому жилет можна замінити светром. Маніпуляції зі светром точно повторюються. Цей експеримент можна демонструвати і на собі, для чого потрібно з'єднати 14 шнуром кисті рук, залишаючи між ними 40 сантиметрів, щоб забезпечити свободу рухів і руки зчепити попереду. Експеримент 3. Розплутування кілець із мотузок. Двоє учасників пов'язані мотузками за руки. Тим самим руки і мотузки утворюють два зчеплені кільця. Необхідно, не розв'язуючи мотузок, розплутатися. Відгадка цього досвіду полягає в тому, що на руках учасники мають ще по дві петлі. Необхідно одну мотузку протягнути через одну з петель на руках іншої мотузки і зняти петлю через кисть руки. ІІІ. Практичне застосування стрічки Мебіуса Найдивовижніша її властивість - те, що вона одностороння, її не можна розфарбувати двома фарбами, а комахи, що повзають по ній, обійдуть обидві сторони, не перетинаючи край. Ця властивість знайшла практичне застосування: запатентовано безліч пристроїв, наприклад, ремінь для заточування, стрічка для барвників для друкуючих пристроїв, ремінна передача та інші технічні рішення. Властивість односторонності листа Мёбіуса було використано в техніці: якщо у ремінної передачі ремінь зробити у вигляді листа Мёбіуса, то його поверхня зношується вдвічі повільніше, ніж у звичайного кільця. Це дає відчутну економію Властивості, якими володіє стрічка Мебіуса можна використовувати в швейній промисловості при оригінальному розкрої тканини Пружинний механізм дитячих іграшок заводу найчастіше виходить з ладу, тому, що діти нерідко намагаються заводити пружину, коли вона і так закручена до краю. Кільцева перекручена пружина може стати "вічним двигуном" для дитячих іграшок. Ще один приклад можливого використання нового механізму щілинний затвор фото- чи кінокамери (не цифровий). У традиційних конструкціях після спуску затвора необхідно закрити щілину шторки затвора, а потім повернути його у вихідне положення, одночасно 15 звівши пружину. Інакше кадр засвітиться під час проходження щілини затвора у зворотному напрямку. Пристрій затвора виходить дуже складним. Застосування стрічки Мебіуса дозволило спростити конструкцію, підвищило її надійність, довговічність та швидкодію. Багато матричних принтерах барвна стрічка також має вигляд листа Мёбиуса збільшення її ресурсу. Завдяки стрічці Мебіуса виникло безліч найрізноманітніших винаходів. Так, наприклад, були створені особливі касети для магнітофона, які дали можливість слухати магнітофонні касети з "двох сторін" не змінюючи їх місцями. Скільки людей захоплювали атракціони "Американські гірки". Іграшка ця дуже сподобалася не лише математикам. Адже не дарма, напевно, зараз біля входу до Музею історії та техніки у Вашингтоні стоїть пам'ятник стрічці Мебіуса – на п'єдесталі повільно обертається сталева стрічка, закручена на піввітка. Цілу серію скульптур у вигляді аркуша Мебіуса створив скульптор Макс Білл. Доволі багато різноманітних малюнків залишив Мауріц Ешер. IV. Висновок Незважаючи на те, що Мебіус зробив своє дивовижне відкриття давно, але воно дуже популярне і в наші дні. Проста смужка паперу, але перекручена лише раз і склеєна потім в кільце, відразу ж перетворюється на загадкову стрічку Мебіуса і набуває дивовижних властивостей. Такі властивості поверхонь та просторів вивчає спеціальний розділ математики – Топологія. Наука ця настільки складна, що її у школі не минають. Лише в інститутах. Але хто знає, можливо з часом, ми станемо знаменитими топологами і зробимо чудові відкриття. І можливо, якусь хитромудру поверхню назвуть нашими іменами. Працюючи разом із хлопцями моєї групи над проектом «Секрети аркуша Мебіуса» я дізнався багато нового та цікавого: навчився знаходити літературу за запропонованою вчителем темою у бібліотеці, читати та вибирати потрібний матеріал; користуватись статтями в інтернеті, підбирати потрібні ілюстрації для реферату, будувати таблиці та заповнювати їх; виконувати дослідження «аркуша Мебіуса» (робити необхідну кількість поворотів склеювати та розрізати); кільця, що вийшли фотографувати і вносити в таблицю; складати презентацію та знімати на відео експерименти; виступати на конференції та показувати фокуси. Все це досить складно і потребує багато часу, але дуже цікаво. 16 «Топологія, наймолодша і найпотужніша гілка геометрії, наочно демонструє плідний вплив протиріч між інтуїцією та логікою» Р. Курант. 17 Література 1. Гарднер М «Математичні дива і таємниці», Москва, «Наука» 1986 2. Громов А.С. «Позакласні завдання з математики 8-9 клас» Москва, Просвітництво 3. Н. Ленгдон, Ч.Снейп «З математикою в дорогу» Москва, Педагогіка, 1987г 4. Науково - популярний журнал "Квант" 1975 № 7, 1977 № 7 . 5. Савін А.П. «Енциклопедичний словник молодого математика», М, Просвітництво, 1985г 6. Якушева Г.М «Велика енциклопедія школяра. Математика», Москва, «СЛОВО», Ексмо, 2006р 7. w.w.w.Rambler.ru 18 Додаток Лабораторна робота «Аркуш Мебіуса» на заняттях математичного гуртка 19 Спробуйте пофарбувати один бік аркуша Мебіуса - шматок за шматком, не переходячи через край стрічки. І що ж? Ви зафарбуєте весь лист Мебіуса! 20 Постав точку на одній стороні кожного кільця і чорти безперервну лінію вздовж нього, поки не прийдеш знову в зазначену точку 21 Випробуємо кільця, розрізаючи їх на дві частини вздовж. 22 Зараз вийдуть два окремі кільця. Але що ж це? Замість двох кілець виходить одне! Причому воно більше і тонше початкового кільця. 23 Запишемо результати перекручування та розрізання в таблицю досліджень. 24 Обидва кільця вдвічі довші за розрізаний, зчеплені один з одним. Одне з кілець переплело друге 25 Одне кільце тієї ж довжини, друге вдвічі довше зчеплене один з одним 26 Розріз стрічки Мебіуса з додатковими обертами дає несподівані фігури, названі парадромними кільцями. 27
Уявимо собі поверхню і мурашки, що сидить на ній. Чи вдасться мурашці доповзти до зворотного боку поверхні - образно кажучи, до її вивороту, - не перелазячи через край? Звичайно ж ні!
Перший приклад односторонньої поверхні, у будь-яке місце якої може доповзти мурашка, не перелазячи через край, навів Мебіус в 1858р.
М.Ешер "Лист Мебіуса II" «Перехід» через стрічку Мебіуса інший вимір
Август Фердинанд Мёбіус (1790-1868) – учень «короля» математиків Гауса. Мебіус був спочатку астрономом, як Гаус і багато інших, кому математика зобов'язана своїм розвитком. У ті часи заняття математикою не зустрічали підтримки, а астрономія давала достатньо грошей, щоб не думати про них, і залишала час для власних роздумів. І Мебіус став одним із найбільших геометрів XIX століття.
У віці 68 років Мебіус вдалося зробити відкриття вражаючої краси. Це відкриття односторонніх поверхонь, одна з яких – лист Мебіуса (або стрічка). Мебіус придумав стрічку, коли спостерігав за покоївкою, що неправильно одягла на шию свою хустку.
М.Ешер "Лист Мебіуса"
Виготовимо лист Мебіуса: візьміть паперову смужку-довгий вузький прямокутник АВСD (зручні розміри: довжина 30 см, ширина 3 см). Перекрутивши один кінець смужки на 180 º, склейте з неї кільце (точки А і С, В і D). Модель готова.
Модель стрічки Мебіусаможе бути легко створена зі смужки паперу, повернувши один із кінців смужки впівоборота і з'єднавши його з іншим кінцем у замкнуту фігуру. Якщо почати малювати олівцем лінію на поверхні стрічки, то лінія піде вглиб фігури і пройде під початковою точкою лінії, ніби пішовши на "іншу сторону" стрічки. Якщо продовжувати лінію, вона повернеться у початкову точку. При цьому довжина намальованої лінії буде вдвічі більшою за довжину смужки паперу. Цей приклад показує, що у стрічки Мебіуса лише одна сторона та один кордон.
У Евклідовому просторі фактично існує два типи стрічки Мебіуса, розгорнутої впівобороту: одна - розгорнута за годинниковою стрілкою, інша - проти годинникової стрілки.
Лист Мебіуса зробить вам сюрприз, якщо ви спробуєте його розрізати.Розріжте листок по центральній лінії. Що у вас вийшло? Замість того, щоб розвалитися на два шматки, стрічка розгортається в довгу замкнуту смужку, що зв'язану. Отриману після першого розрізу стрічку знову розріжте центральною лінією. Перед останнім стиском ножиць спробуйте вгадати, що буде?
Щоб отримати стрічку Мебіуса, ми перевертали смужку паперу на 180 º, на півоберта. Тепер смужку скрутіть на 360 º, повний оборот. Склейте, потім розріжте по центральній лінії. Який вийти результат, важко передбачити.
А тепер спробуємо зробити таку модель: у смузі АВСD прорізати щілину і просмикнути крізь неї один кінець. Повернувши на підлогу обороту, склейте, як показано на малюнку.
А тепер продовжіть розріз уздовж усієї стрічки. Що у вас вийшло?
Таємничий і знаменитий аркуш мебіуса, що з'явився в 1858 році, хвилював художників та скульпторів. Багато малюнків із зображеннями аркуша Мебіуса залишив відомий голландський художник Моріс Ешер (див. статтю).
Цілу серію варіантів аркуша Мебіуса можна зустріти у скульптурі.
Роман з каменем. Праща Мебіуса. С. Карпіков Пам'ятник стрічці Мебіуса у Москві. А. Наліч
Парадокс та вчинок. А. Еткало Геометричні скульптури Меріт Расмуссен
м. Мінськ. Скверик біля Центральної Наукової бібліотеки імені Якуба Коласа.
Архітетурні рішення з використанням ідеї стрічки Мебіуса:
Неймовірний проект нової бібліотеки в Астані, Казахстан
Настільні композиції:
Навіть є меблі у вигляді стрічки Мебіуса
Ювелірні прикраси у вигляді стрічки Мебіуса:
Є гіпотеза, що спіраль ДНК людини сама собою теж є фрагментом стрічки Мебіуса.
Міжнародний символ переробки є Листом Мебіуса.
Аркуш Мебіуса також постійно зустрічається у науковій фантастиці, наприклад, в оповіданні Артура Кларка «Стіна Темряви». Іноді науково-фантастичні оповідання (слід за фізиками-теоретиками) припускають, що наш Всесвіт може бути деяким узагальненим листом Мебіуса. Також кільце Мебіуса постійно згадується у творах уральського письменника Владислава Крапівіна, цикл «У глибині Великого Кристала» (напр. «Застава на Якірному Полі. Повість»). У оповіданні «Аркуш Мебіуса» автора А. Дж. Дейча, бостонське метро будує нову лінію, маршрут якої стає настільки заплутаним, що перетворюється на стрічку Мебіуса, після чого на цій лінії починають зникати потяги. За мотивами оповідання було знято фантастичний фільм «Мебіус» режисера Густаво Москера. Також ідея стрічки Мебіуса використовується в оповіданні М. Кліфтона "На стрічці Мебіуса". Зі стрічкою Мебіуса порівнюється перебіг роману сучасного російського письменника Олексія А. Шепелєва «Echo» (СПб.: Амфора, 2003). З анотації до книги: "Echo" - літературна аналогія кільця Мебіуса: дві сюжетні лінії - "хлопчиків" і "дівчаток" - переплітаються, перетікають один в одного, але не перетинаються ».
Всім відомо, що наш світ має три виміри, що Земля обертається навколо Сонця, що будь-яка поверхня має дві сторони: верхню і нижню… А ось і не вгадали! Не будь-яка. Тому що, виявляється, існують поверхні, які мають лише один бік, і це науково доведено.
Хто винахідник?
Це геометричне явище було відкрито майже одночасно, але незалежно один від одного двома німецькими вченими: Августом Фердинандом Мебіусом і Йоганном Бенедиктом Лістингом (1858р.). ? Сам математик виготовив її з аркуша паперу і він виявився першою відомою людству односторонньої поверхнею. До того часу вважалося, що неможливо потрапити з однієї точки даної поверхні, не перетинаючи її краї, до будь-якої іншої.
Як зробити стрічку Мебіуса своїми руками?
Ви самі можете зробити модель листка Мебіусаі на власному досвіді переконатися, що в нього справді одна сторона. Все дуже просто. Для цього Вам знадобиться аркуш паперу, ножиці, клей, якась фарба двох кольорів і, звичайно ж, Ваша цікавість.
Почнемо з того, що з паперового листа треба вирізати стрічку з розмірами приблизно 24х4 см. Потім для ясності позначимо кути з одного боку стрічки A і B, з іншого – C і D. Далі паперову смужку потрібно перекрутити один раз і склеїти таким чином, щоб кут A сумісився з кутом D, а кут B – з кутом C. Фігура, що вийшла, і носить назву стрічки Мебіуса.
Сам виріб ми створили, тепер залишилося вигадати, як зробити перевірку стрічки Мебіуса на однобічність. Щоб це здійснити, візьмемо будь-яку фарбу і почнемо поступово забарвлювати виготовлену стрічку з одного боку сантиметр за сантиметром, не переходячи в жодному разі через її край. Фарбу іншого кольору залишимо для іншої сторони. Незабаром стане видно, що її застосовувати нема до чого, бо білого паперу зовсім не залишилося. Отже, правда, стрічка Мебіуса – одностороння поверхня.
Несподівані результати дає також розрізання листка Мёбиуса. Як зробити з однієї стрічки Мебіуса дві, але вже? Здавалося б, що може бути простіше: взяти та й розрізати посередині. Але утворюється не два кільця, як очікується, а одне велике. Наступні розрізання стрічки будуть дивувати вас все більше і більше.
Як стрічку Мебіуса зробили незамінним відкриттям 
Все це кумедно та захоплююче, але стрічка Мебіуса не просто цікава іграшка. Багато вчених замислювалися над тим, як зробити стрічку Мебіуса корисною для людствазнайти їй гідне застосування. У наші дні зареєстровано безліч таких винаходів, серед них і двосторонній спосіб записування звуку на кінострічку без перемотування плівки, та особливі касети для магнітофонних стрічок. А в 1969 році радянський винахідник А. Губайдуллін отримав авторське свідоцтво на нескінченну шліфувальну стрічку, яка працює одразу обома сторонами на основі листка Мебіуса.
Деякі ламали голови над тим, як зробити стрічку Мебіусадеяким «предком» символу нескінченності, адже рухатися поверхнею стрічки можна вічно. Але цей факт не виправдав себе, оскільки цей символ існував задовго до відкриття Мёбиуса.
Ось такі дивовижні здібності мають деякі, на перший погляд прості, предмети.
Стрічка Мебіуса (петля Мебіуса, лист Мебіуса)— проста на вигляд фігура, але математик сказав би, що це двовимірна поверхня з дивовижними властивостями: у неї тільки один бік і один край, на відміну від звичайного кільця, яке можна згорнути з тієї ж смужки, що й стрічку Мебіуса, але в нього буде дві сторони та два краї. У цьому легко переконатися, якщо намалювати лінію посередині стрічки, не відриваючи олівець від паперу, доки не повернетесь у вихідну точку. Дивно, але факт: за рахунок півоберта смужки її верхній і нижній краї об'єдналися в одну безперервну лінію, а дві сторони перетворилися на єдине ціле і стали однією стороною. І ось результат: потрапити з однієї точки стрічки Мебіуса до будь-якої іншої можна, не переходячи через край.
Біг стрічкою Мебіуса
Для стороннього спостерігача подорож по стрічці Мебіуса є «бігом по колу», сповненим несподіванок. Його наочно зобразив голландський художник-графік Мауріц Ешер (1898-1972). На картині «Стрічка Мебіуса II» у ролі мурах. Простеживши їх рухом, можна зробити цікаве відкриття. Здійснивши один оборот по стрічці, кожна мурашка опиниться у вихідній точці, але вже в положенні антипода, — візуально він буде «по той бік» стрічки головою вниз. А що станеться з двомірною істотою, що рухається стрічкою Мебіуса? Обійшовши поверхню, воно перетвориться на своє дзеркальне відображення (це легко уявити, якщо вважати стрічку прозорою). Щоб стати самим собою, двовимірній істоті доведеться зробити ще одне коло. От і мурашку треба двічі пройти стрічкою Мебіуса, щоб повернутися в початкове положення.
Науковий курйоз чи корисне відкриття
Стрічку Мебіуса часто називають математичним курйозом. Та й сама її поява приписують нагоди. За легендою, стрічку вигадав один німецький учений, коли побачив на покоївці неправильно пов'язану шийну хустку. Це був відомий математик і астроном учень Карла Фрідріха Гауса. Односторонню поверхню з єдиним краєм він описав ще 1858 року, але стаття була опублікована за його життя. У тому ж році незалежно від Мебіуса аналогічне відкриття зробив Йоганн Лістинг, ще один учень Гауса.
Стрічку все ж таки назвали на честь Мебіуса. Вона стала одним з перших об'єктів топології - науки, що вивчає найбільш загальні властивості фігур, а саме такі, які зберігаються при безперервних (без розрізів і склеєк) перетвореннях: розтягуванні, здавлюванні, згинанні, скручуванні тощо. Ці перетворення нагадують деформації фігур з гуми, тому топологію інакше називають «гумової геометрією». Окремі топологічні завдання вирішував ще XVIII столітті Леонард Ейлер. Початок нової галузі математики поклала робота Лістингу «Попередні дослідження з топології» (1847) — перша систематична праця з цієї науки. Він же вигадав термін «топологія» (від грецьких слів τόπος - місце і λόγος - Вчення).
Стрічку Мебіуса можна було б вважати науковим курйозом, черговою примхою математиків, якби вона не знайшла практичного застосування і не надихала людей мистецтва. Її неодноразово зображали художники, їй ставили пам'ятники скульптори і присвячували свої твори письменники. Ця незвичайна поверхня сподобалася архітекторам, дизайнерам, ювелірам і навіть виробникам одягу та меблів. На неї звернули увагу винахідники, конструктори, інженери (наприклад, ще в 1920-х роках було запатентовано аудіо- та кіноплівки у формі стрічки Мебіуса, що дозволяють подвоїти тривалість запису). Але найчастіше з цією стрічкою мають справу фокусники: їх приваблюють незвичайні властивості, що виявляються при її розрізанні. Так, якщо розрізати стрічку Мебіуса по середній лінії, вона не розпадеться на дві частини, як можна очікувати. З неї вийде вужча і довга двостороння стрічка, перекручена двічі (подібну форму має конструкція атракціону «Американські гірки»). А ось «кулінарний фокус»: тістечка у вигляді стрічки Мебіуса здадуться смачнішою за звичайні, адже на них можна намазати вдвічі більше крему! Крім того, є цікаві архітектурні проекти будівель, виконані у стилі стрічки Мебіуса. Поки що вони існують тільки на папері, але, хочеться вірити, обов'язково будуть реалізовані.
«Двозначне» становище
Своїми властивостями стрічка Мебіуса справді нагадує об'єкт із Задзеркалля. Та й сама вона, будучи асиметричною фігурою, має дзеркальний двійник. Відправимо прогулятися вздовж стрічки відбиток правої ступні і невдовзі виявимо, що додому повернеться відбиток лівої ступні. Смішно, правда? І коли лише «праве» встигло стати «лівим»? «Вмонтуємо» у стрічку двомірний годинник і змусимо його здійснити по ній повний оборот. Поглянувши на годинник, ми побачимо, що стрілки на циферблаті рухаються з тією ж швидкістю, але у зворотний бік! І який із двох напрямків руху правильний?
Поки ви думаєте над відповіддю, зауважу, що математик запропонував би витончений вихід навіть із цього «двозначного» становища. Потрібно, щоб, по-перше, годинник завжди показував один і той же час, а по-друге, стрілки на циферблаті були в положенні, яке збереглося б при дзеркальному відображенні, наприклад, стояли вертикально, утворюючи розгорнутий кут.
Ну що, перевіримо відповідь? Насправді на стрічці Мебіуса не можна встановити певний напрямок обертання. Один і той же рух можна сприймати і як поворот за годинниковою стрілкою, і як поворот у протилежному напрямку. Коли довільно обрана на стрічці Мебіуса точка обходить її, один напрямок безперервно перетворюється на інший. У цьому «праве» невловимо змінюється «лівим». Двовимірна істота жодних змін у собі не помітить. Зате їх побачать інші такі ж істоти і, звичайно, ми, які спостерігають за тим, що відбувається з іншого виміру. Ось така вона непередбачувана, одностороння поверхня Мебіуса.
Ось він – автор дивовижної стрічки Мебіуса!
Німецький математик та астроном-теоретик Серпень Фердинанд Мебіус(1790-1868) – учень великого Гаусса, відомий геометр, професор Лейпцизького університету, директор обсерваторії. Довгі роки викладання, довгі роки роботи – звичайне життя професора.
І ось треба ж, це трапилося під кінець життя! Прийшла дивовижна ідея… це була найзначніша подія у його житті! На жаль, він не встиг оцінити значимість свого винаходу. Статтю про знамениту стрічку Мебіуса було опубліковано посмертно.
Як називають стрічку Мебіуса (інакше лист Мебіуса чи петлю Мебіуса) математики?
Мовою математики - це топологічний об'єкт, найпростіша одностороння поверхняз краєм у звичайному тривимірному Евклідовому просторі, де можна потрапити з однієї точки цієї поверхні до будь-якої іншої, не перетинаючи краю.
Досить складне визначення!
Тому зручніше просто розглянути стрічку Мебіуса ближче. Беремо паперову смужку, перекручуємо смужку в півоберта впоперек (на 180 градусів) і склеюємо кінці.
Іншого разу «мама б по голівці за таку роботу не погладила»! Але, цього разу ви маєте рацію! Вона має бути перекрученим кільцем.
Ставимо в якомусь місці на смужці крапку фломастером. А тепер прокреслюємо вздовж усієї нашої стрічки лінію, поки вам не зустрінеться знову ваша точка. Вам ніде не довелося переходити через край - це називається односторонньою поверхнею.
Подивіться, як цікаво проходить прокреслена вами лінія: вона всередині кільця, то зовні! А тепер виміряйте довжину цієї лінії – від точки до точки.
Дивуєтесь?
Вона виявляється вдвічі довшою за початкову смужку паперу!
Так і має бути, адже у вас у руках стрічка Мебіуса! А у стрічки Мебіуса є лише одна сторона, і ми знову скажемо – це одностороння поверхня із краєм.
А якщо з цієї межі змусити повзти, не згортаючи, мурахи, то ви отримаєте копію картини художника Моріса Ешера.
Бідолашна мураха на нескінченній дорозі
А можна зробити дві різні стрічки Мебіуса: у однієї перекручувати перед склеюванням смужку за годинниковою стрілкою, а в іншої - проти годинникової стрілки. Так розрізняються права та ліва стрічки Мебіуса.
А зараз цікаві сюрпризизі стрічкою Мебіуса:
1. Розріжте стрічку Мебіуса кругову по центральній лінії. Не бійтеся, вона не розвалиться на дві частини! Стрічка розгорнеться у довгу замкнуту стрічку, закручену вдвічі більше, ніж первісна. Чому стрічка Мебіуса за такого розрізу не розпадається на окремі частини?
Розріз не торкався краю стрічки, тому після розрізу край (а отже, і вся смужка паперу) залишиться цілим шматком.
2. Отриману після першого досвіду стрічку Мебіуса (закручену вдвічі більше, ніж початкова, тобто на 360 градусів), знову розріжте по її центральній лінії.
Що вийде?
У вас в руках виявляться тепер дві однакові, але зчеплені між собою стрічки Мебіуса.
3. Зробіть нову стрічку Мебіуса, але перед склеюванням поверніть її не один раз, а три рази (не на 180 градусів, а на 540). Потім розріжте її вздовж центральної лінії.
Що вийшло?
У вас має вийти замкнута стрічка, завита в вузол трилисника, тобто. у простий вузол із трьома самоперетинами.
4. Якщо ви зробите стрічку Мебіуса з ще більшим числом напівоборотів перед склейкою, то вийдуть несподівані та дивовижні фігури, які називаються парадромними кільцями.
5. Якщо розрізати стрічку Мебіуса, не посередині, а відступаючи від краю приблизно на третину її ширини, то вийдуть дві зчеплені стрічки, одна — коротша стрічка Мебіуса, і інша — довга стрічка Мебіуса з двома напівоборотами.
Подивіться, як це можна зробити на практиці:
Близькою до стрічки Мебіуса односторонньою поверхнею є пляшка Клейна.
Цікаво, що пляшка Клейна може бути отримана шляхом склеювання двох стрічок Мебіуса по краях. Однак у звичайному тривимірному евклідовому просторі зробити це, не створюючи самоперетину, неможливо.
Є ще один цікавий об'єкт, пов'язаний зі стрічкою Мебіуса. Це резистор Мебіуса.
В історії нерідко бувають випадки, коли одна ідея спадає на думку одночасно кільком винахідникам. Так трапилося і зі стрічкою Мебіуса. У тому ж 1858 ідея стрічки прийшла і до іншого вченого - Йоганну Лістінгу. Він дав назву науці, що вивчає безперервність, топологія. А першість у відкритті топологічного об'єкта – стрічки дісталася Августу Мебіусу.
Ми непомітно зустрічаємо стрічку Мебіуса в різних пристроях: це і барвники в матричних принтерах, і ремінні передачі, шліфувальні пристрої, стрічкові конвейєри та багато інших. І тут термін служби виробу збільшується, т.к. зменшується зношування. А у системах безперервного запису застосування стрічки Мебіуса дозволяє вдвічі збільшити час запису на одну плівку.
Таємнича стрічка Мебіуса завжди розбурхувала уми письменників, художників та скульпторів.
Згадайте, наприклад, емблему знаменитої серії науково-популярних книг «Бібліотечка „Квант“» або міжнародний символ переробки.
